Centralne twierdzenia graniczne

Zbiór wzorów, definicji i najczęściej poruszanych problemów z probabilistyki oraz statystyki matematycznej.
Awatar użytkownika
Emiel Regis
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1495
Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków

Centralne twierdzenia graniczne

Post autor: Emiel Regis » 14 lut 2008, o 01:03

[center][size=150][color=green][b]Wstęp[/b][/color][/size][/center]




Centralne twierdzenia graniczne mówią nam w ogólności o tym, że [niektóre] odpowiednio ustandaryzowane sumy zmiennych losowych zbiegają wg rozkładu do zmiennej o standardowym rozkładzie normalnym. W zależności od tego ile wiemy o danym ciągu zmiennych losowych to możemy [bądź nie] zastosować jedno z nich.

Gdy [latex]X \sim \mathcal{N}(m, \sigma^2)[/latex] to aby ustandaryzować zmienną X należy od niej odjąć wartość oczekiwaną oraz całość podzielić przez odchylenie standardowe. Czyli:

[latex]Y=\frac{X-m}{\sigma} \sim \mathcal{N}(0,1)[/latex]

Taka sama idea jest przy standaryzowaniu sum zmiennych losowych, wtedy całą sumę się traktuje jako jedną zmienną losową.



[center][latex]\hline[/latex][/center]



[center][size=150][color=green][b]Twierdzenie Lindeberga - Levy'ego[/b][/color][/size][/center]



[b]Założenia:[/b]

[latex]X_1, X_2, ... \hbox{ - niezależne zmienne losowe o tym samym rozkładzie}\\ \\
EX_1=m \\ \\
Var(X_1)= \sigma^2 < \infty[/latex]


[b]Teza:[/b]

[latex]\frac{ \sum \limits_{i=1}^{n}X_i-E( \sum \limits_{i=1}^{n}X_i)}{ \sqrt{Var({ \sum \limits_{i=1}^{n}X_i})}}} = \frac{ \sum \limits_{i=1}^{n}X_i- \sum \limits_{i=1}^{n}EX_i}{ \sqrt{{ \sum \limits_{i=1}^{n}Var(X_i)}}} = \frac{ \sum \limits_{i=1}^{n}X_i-nm}{ \sqrt{n \sigma^2}}} \stackrel{d} { \longrightarrow} Z \sim \mathcal{N}(0,1)[/latex]



[center][latex]\hline[/latex][/center]



[center][size=150][color=green][b]Twierdzenie de Moivre'a - Laplace'a[/b][/color][/size][/center]



[b]Jest to szczególny przypadek powyższego twierdzenia gdy zmienne losowe mają rozkłady zero-jedynkowe.[/b]

[b]Założenia:[/b]

[latex]X_n \sim B(n,p)[/latex]

[b]Teza:[/b]

[latex]\frac{X_n - np}{ \sqrt{np(1-p)}} \stackrel{d} { \longrightarrow} Z \sim \mathcal{N}(0,1)[/latex]

Może ktoś spytać gdzie tutaj suma zmiennych losowych, otóż zmienna losowa o rozkładzie dwumianowym daje się rozpisać jako suma zmiennych o rozkładach zero-jedynkowych.

[latex]X_n \stackrel{d}{=} \sum_{i=1}^n Y_i \\ \\
P(Y_i=1)=p \\ \\
P(Y_i=0)=1-p\\ \\
\hbox{oraz } Y_1, \ldots, Y_n \hbox{ - niezależne.}[/latex]




[center][latex]\hline[/latex][/center]



[center][size=150][color=green][b]Twierdzenie Lapunowa[/b][/color][/size][/center]



[b]Założenia:[/b]

[latex]X_1, X_2, ... \hbox{ - niezależne zmienne losowe}\\ \\
EX_i=m_i \\ \\
Var (X_i)= \sigma_i^2 \\ \\
E|X_i-m_i|^3 = \beta_i < \infty \\ \\
\left[ \sum_{i=1}^n \beta_i \right]^{ \frac{1}{3}} = o \left[ \sum_{i=1}^n \sigma_i^2 \right]^{ \frac{1}{2}}[/latex]


[b]Teza:[/b]

[latex]\frac{ \sum \limits_{i=1}^{n}X_i-E( \sum \limits_{i=1}^{n}X_i)}{ \sqrt{Var({ \sum \limits_{i=1}^{n}X_i})}}} = \frac{ \sum \limits_{i=1}^{n}X_i- \sum \limits_{i=1}^{n}EX_i}{ \sqrt{{ \sum \limits_{i=1}^{n}Var(X_i)}}} = \frac{ \sum \limits_{i=1}^{n}X_i- \sum \limits_{i=1}^{n}m_i}{ \sqrt{{ \sum \limits_{i=1}^{n} \sigma_i^2}}} \stackrel{d} { \longrightarrow} Z \sim \mathcal{N}(0,1)[/latex]



[center][latex]\hline[/latex][/center]



[center][size=150][color=green][b]Twierdzenie Lindeberga[/b][/color][/size][/center]



[b]Jako jedno z ogólniejszych twierdzeń granicznych przedstawię jeszcze twierdzenie Lindeberga, uogólnia ono twierdzenie Lindeberga - Levy'ego na zmienne losowe o różnych rozkładach, jednak ceną za ogólność jest nieprzyjemny do sprawdzania warunek Lindeberga.[/b]

[b]Założenia:[/b]

[latex]X_1, X_2, \ldots \hbox{ - niezależne zmienne losowe}[/latex]

[latex]EX_i=m_i[/latex]

[latex]Var(X_i) = \sigma_i^2[/latex]

[latex]C_n = \left [ \sum_{i=1}^n \sigma_i^2 \right]^ \frac{1}{2}[/latex]

[latex]A= \{ \omega: |X_i-m_i| \geqslant \varepsilon \cdot C_n \}[/latex]

[latex]\bigwedge_{ \varepsilon >0} \lim_{n \to \infty} \frac{1}{C_n^2} \sum_{i=1}^n} \int_A (X_i -m_i)^2 dP =0[/latex] [color=green][b]- warunek Lindeberga[/b][/color]

[b]Teza:[/b]

[latex]\frac{ \sum \limits_{i=1}^n(X_i-m_i)}{C_n} \stackrel{d} { \longrightarrow} Z \sim \mathcal{N}(0,1)[/latex]



[center][latex]\hline[/latex][/center]

ODPOWIEDZ