Matematyka.pl

dla jakiego prametru m uklad jest clamerowki

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} mx _{1} +x _{2}+x _{3} =1\\x _{1}+x _{2} -x _{3} =m\\x _{1} -x _{2}+mx _{3}=1 \end{array}}\)



prosze o rozwiaznie krok po kroku

nie wiem o co biega - ale mogę powiedzieć kiedy układ będzie niesprzeczny na podstawie tw. Kroneckera-Capelliego

tj.
wtedy i tylko wtedy gdy rząd macierzy
współczynników tego układu jest równy rzędowi jego macierzy
rozszerzonej.

gdzie macierz współczynników:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}m&1&1\\1&1&-1\\1&-1&m\end{array}\right]}\)

macierz rozszerzona

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}m&1&1&1\\1&1&-1&m\\1&-1&m&1\end{array}\right]}\)

a rząd macierzy liczy się tak - (oczywiście można wyznaczyć wymiar przestrzeni rozpiętej na kolumnach/wierszach, można poszukać nieznikającego minora, ale chyba najskuteczniej w tym wypadku...) - starasz się sprowadzić macierz do postaci

A 0 0 ... 0
0 B 0 ... 0
0 0 C ... 0
... ... ...
0 0 0 ... 0

wymiar będzie równy ilości różnych od zera elemntów stojących na diagonali w takiej macierzy

no to zaczynamy...
w m. współczynników proponuję
- do wiersz 1 dodać wiersz 3
- do kolumny 1 dodać kolumnę 2
- od kolumny 3 odjąć kolumnę 1
- od wiersza 2 odjąć wiersz 1 pomnożony przez 2/(m+1)
- do wiersza 3 dodać wiersz 2
- do wiersza 2 dodać wiersz 3 pomnożony przez 3/(m-3)

i mamy

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}m+1&0&0\\0&1&0\\0&0&m-3\end{array}\right]}\)

analogicznie dla macierzy rozszerzonej
i porównujesz dla jakiego m ilość nie znikających na diagonali elementów będzie taka sama w obu przypadkach

ty sluchaj a musze liczyc maciesz rozszezona bo ja zroilem tak doszedlem do macierzy współczynników i policzylem wyznacznik wyszedl

\(\displaystyle{ m^{2}-2m-3}\)

dalej policzylem pierwsiatki i tez wyszly

m=-1 lub m= 3

czy jak tak policze to bedzie zle ??

nie wiem - może akurat trafisz - ale ja bym tego nigdy tak nie rozwiązywał...
masz znaleźć kiedy rzędy macierzy będą równe - odradzam wprowadzanie wyznacznika...

Nie "clamerowski", tylko cramerowski jeśli już, nie wiem tylko co to miałoby znaczyć (że ma dokładnie jedno rozwiązanie?). A rozwiązywanie układu równań z macierzą kwadratową przy pomocy wzorów Cramera jest jak najbardziej naturalnym sposobem, więc nie wiem czemu by to odradzać.

Wyznacznik został policzony dobrze, stąd wniosek, że dla \(\displaystyle{ m \{-1,3\}}\) układ ma dokładnie jedno rozwiązanie. Dla tych dwóch liczb należy sprawdzić osobno - dla obu wychodzi układ sprzeczny.

Q.

hmm...
ja zasugerowałem sprawdzić czy układ nie jest sprzeczny - czyli czy ma w ogóle jakieś rozwiązania - zależnie od m

i tyle chciałem powiedzieć - bo co to znaczy, że układ jest cramerowski - tego nie ustaliliśmy, więc być może chodzi tylko o niesprzeczność i możliwość rozwiązania wzorami Cramera - niekoniecznie o samo rozwiązanie - i ta interpretacja jakoś wydaje mi się właściwa - bo chodzi tutaj o jakąś cechę samego układu - a nie jego rozwiązań

ale - ja myślę w ten sposób - a niezwykle często jestem w błędzie, więc...

clossius pisze:ja zasugerowałem sprawdzić czy układ nie jest sprzeczny - czyli czy ma w ogóle jakieś rozwiązania - zależnie od m

No i dokładnie to zostaje zrobione przy badaniu wyznacznika macierzy. Tam gdzie ów wyznacznik jest niezerowy jest dokładnie jedno rozwiązanie, a tam gdzie się zeruje sprawdzamy ręcznie, że układ jest sprzeczny (choć teoretycznie mógłby mieć wtedy w którymś wypadku także nieskończenie wiele rozwiązań).

Q.

dałem ciała z tymi przekształceniami - bo nie wolno mieszać na kolumnach...

zgadzam się, w sumie tak będzie najszybciej

clossius pisze:bo co to znaczy, że układ jest cramerowsk

To już ustalono, najpóźniej w ubiegłym wieku i napisane jest w większości książek o układach liniowych: układ oznaczony n równań liniowych z n niewiadomymi; oznaczony, czyli jego wyznacznik główny jest niezerowy. W innych przypadkach taki układ nie jest układen równań Cramera i wtedy - jak zauważył Kolega Qń - może być sprzeczny albo nieoznaczony.

Odkrycie wzorów Cramera (miał na imię Gabriel) przypisuje się Colinowi Maclaurin'owi. Coż był XVIII wiek i nie działało (chyba?) prawo autorskie.