całkowanie wielomianów

[prokicki]

Witam!
Mam problem z wyliczeniem całki z wielomianów, jako że analize miałem spory czas temu,
obecnie zaliczam algebre, a w włąśnie w niej w pewnym zadaniu najpierw nalezy całke
wyliczyc by móc przejść dalej.

Całka wygłada nastepująco

\(\displaystyle{ \int _{0}^{1} f(x)g(x)}\)

Wskazówka jest by spróbować przez części, no więc spróbowałem, wyszło mi:
(jako nieoznaczoną liczę, pózniej sobie podstawie)

\(\displaystyle{ \frac{1}{2}f(x)^{2}g(x) - t \frac{1}{2}f(x)^{2}g'(x)}\)

jezeli ponownie przez czesci to wychodzi

\(\displaystyle{ \frac{1}{2}f(x)^{2}g(x) - \frac{1}{6}f(x)^{3}g(x) + t g(x)f(x)}\)

no i niestety nie wyjdzie patent taki jak przy sinusach , ktoś móglby mi pomoc wyliczyc
do konca? (prawdopodobnie przez podstawienie)

[Olo]

Błąd zrobiłeś i dlatego Ci nie wyszło zresztą to sprzeczność.
Ja proponuję tak jak ty:
\(\displaystyle{ \int f(x)g(x)=\frac{1}{2}f(x)^{2}g(x)- \int \frac{1}{2}f'(x)g(x)^{2}}\)
Dalej całkujemy przez części:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}f(x)^{2}g(x) - \frac{1}{6}f(x)g(x)^{3} + \int f''(x) \frac{1}{6}g(x)^{3}}\)
I dalej tak całkujemy przez części aż f'''...''=0 Wtedy całkę z 0 nietrudno wyliczyć:) zakładając, że wielomian jest stopnia n-tego trzeba wykonać operację n+1 razy powinieneś otrzymać:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}f(x)^{2}g(x) - \frac{1}{6}f(x)g(x)^{3} +...+\frac{1}{n!}f(x)g(x)^{n}-\frac{1}{(n+1)!}f(x)g(x)^{n+1}}\)
I to chyba tyle:) Napisz czy o to Ci chodziło