Własności prawdopodobieństwa - dowody

Zbiór wzorów, definicji i najczęściej poruszanych problemów z probabilistyki oraz statystyki matematycznej.
Awatar użytkownika
Szemek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4819
Rejestracja: 10 paź 2006, o 23:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk

Własności prawdopodobieństwa - dowody

Post autor: Szemek » 13 lut 2008, o 16:31

1. \(P(\varnothing)=0\) Dowód: \(\varnothing \cup A = A \\ P(\varnothing \cup A) = P(A) \\ P(\varnothing) + P(A) = P(A) \hbox{, bo } \varnothing \cap A = \varnothing \\ P(\varnothing) = P(A)-P(A) \\ P(\varnothing) =0\) co kończy dowód 2. \(A \subset B \Rightarrow P(A) \leq P(B)\) Dowód: \(A\cup (B-A)=B \\ P[A\cup (B-A)] =P(B) \\ P(A) + P(B-A)=P(B) \hbox{, bo } A\cap (B-A) = \varnothing \\ P(A) \leq P(B)\) co kończy dowód 3. \(\bigwedge_{A \in \Omega} P(A) \leq 1\) Dowód: \(A \cup (\Omega-A)=\Omega \\ P[A \cup (\Omega-A)]=P(\Omega) \\ P(A) + P(\Omega-A)=P(\Omega) \hbox{, bo } A\cap (\Omega-A) = \varnothing \\ P(A) + P(\Omega-A)=1 \hbox{, bo } P(\Omega)=1 \\ P(A) \leq 1 \hbox{, bo } P(\Omega-A)\geq 0\) co kończy dowód 4. \(P(A)+P(A')=1\) Dowód: \(A\cup A'=\Omega \\ P(A\cup A')=P(\Omega) \\ P(A) + P(A')=P(\Omega) \hbox{, bo } A \cap A' = \varnothing \\ P(A)+P(A')=1 \hbox{, bo } P(\Omega)=1\) co kończy dowód 5. \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\) Dowód: \(A\cup B=A\cup(B-A) \\ P(A\cup B)=P[A\cup(B-A)] \\ P(A\cup B)=P(A) + P(B-A) \hbox{, bo } A\cap(B-A)=\varnothing \\ 1^* \ \ P(B-A)=P(A\cup B)-P(A) \\ (B-A)\cup (A\cap B) = B \\ P[(B-A)\cup (A\cap B)] = P(B) \\ P(B-A) + P(A\cap B)=P(B) \hbox{, bo } (B-A)\cap (A\cap B)=\varnothing \\ 2^* \ \ P(B-A) = P(B) - P(A\cap B) \\ 1^* = 2^* \\ P(A\cup B)-P(A)=P(B) - P(A\cap B) \\ P(A\cup B)=P(A)+P(B) - P(A\cap B)\) co kończy dowód Wszelkie zastrzeżenia, sugestie, prośby - proszę kierować na
Ostatnio zmieniony 1 sty 1970, o 01:00 przez Szemek, łącznie zmieniany 1 raz.

ODPOWIEDZ