V Śląski Konkurs Matematyczny - etap rejonowy

[mms]

Zadanie 1.
Wykazać, że dla dodatnich liczb \(\displaystyle{ m}\) i \(\displaystyle{ n}\) zachodzi nierówność
\(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{2m}} + \frac{1}{\sqrt{2n}} \leq \sqrt{\frac{m+n}{mn}}}\).

Zadanie 2.
W trójkąt prostokątny, o przyprostokątnych \(\displaystyle{ 5}\) i \(\displaystyle{ 12}\), wpisano okrąg. Obliczyć najmniejszą z odległości wierzchołka kąta prostego od punktów tego okręgu.

Zadanie 3.
Wyznaczyć wszystkie pary \(\displaystyle{ (x,y)}\) liczb całkowitych, spełniających równanie
\(\displaystyle{ xy+y=5x+2008}\).

Zadanie 4.
Liczby \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) są takimi liczbami całkowitymi, że \(\displaystyle{ a^2 + 119ab + b^2}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ 11}\). Wykazać, że \(\displaystyle{ a^3-b^3}\) też dzieli się przez \(\displaystyle{ 11}\).

Zadanie 5.
Prostokąt \(\displaystyle{ \mathrm{ABCD}}\) o bokach długości \(\displaystyle{ \mathrm{AB} = a}\) i \(\displaystyle{ \mathrm{AD} = b}\), gdzie \(\displaystyle{ a>b}\) przekształcono przez symetrię osiową względem prostej zawierającej przekątną \(\displaystyle{ \mathrm{AC}}\) tego prostokąta. Jaką figurą jest część wspólna prostokąta \(\displaystyle{ \mathrm{ABCD}}\) i jego obrazu? Odpowiedź uzasadnić. Obliczyć pole tej figury.

[Wasilewski]

Już się odbył, prawda?
1)
\(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{2m}} + \frac{1}{\sqrt{2m}} qslant \sqrt{\frac{4(m+n)}{4mn}} \\
\frac{\sqrt{2m} + \sqrt{2n}}{2\sqrt{mn}} qslant \frac{\sqrt{4(m+n)}}{2\sqrt{mn}} \ |\cdot 2\sqrt{mn} \\
Do \ kwadratu: \\
2m + 4\sqrt{mn} + 2n qslant 4m + 4n \ |\cdot \frac{1}{2} \\
m - 2\sqrt{mn} + n qslant 0 \\
(\sqrt{m} - \sqrt{n})^2 qslant 0}\)

[mms]

Tak, był dzisiaj od 10 do 12 w Katowicach i kilku innych śląskich miastach.

[Sylwek]

4. \(\displaystyle{ 11|(a^2+119ab+b^2) \iff 11|(a^2-2ab+b^2) \iff 11|(a-b)^2 \iff \\ \iff 11|(a-b) 11|(a-b)(a^2+ab+b^2) \iff 11|(a^3-b^3)}\)


3. \(\displaystyle{ (x+1)(y-5)=2003 \\ \begin{cases}x+1=1 \\ y-5=2003 \end{cases} \begin{cases}x+1=2003 \\ y-5=1 \end{cases} \begin{cases}x+1=-1 \\ y-5=-2003 \end{cases} \begin{cases}x+1=-2003 \\ y-5=-1 \end{cases}}\)

[Piotr Rutkowski]

1) "Na pałę" mnożymy przez \(\displaystyle{ \sqrt{mn}}\), podnosimy do kwadratu i sprowadza się do \(\displaystyle{ \frac{m+n}{2}\geq \sqrt{mn}}\) co jest prawdą

3)
\(\displaystyle{ (x+1)(y-5)=2003}\), chyba widać...

4) Wystarczy po prostu zauważyć, że \(\displaystyle{ (a-b)^{2}\equiv -121ab\equiv 0 \ (mod11)}\)

2)Łatwo obliczyć, że \(\displaystyle{ r=2}\) (pole trójkąta) Łatwo więc zauważyć, że wierzchołek z katem prostym oraz środek okręgu stworzyły (wraz z promieniami opuszczonymi na przyprostokątne) kwadrat o boku 2. Łatwo więc zauważyć, że najmniejsza odległość leży na przekątnej tego kwadratu. Wynosi ona \(\displaystyle{ 2\sqrt{2}-2=2(\sqrt{2}-1)}\)

[Wasilewski]

5) To oczywiście równoległobok, a dodatkowo jego przekątne przecinają się pod kątem prostym, zatem jest to romb. Pole to:
\(\displaystyle{ P = \frac{b}{2a} (a^2 + b^2)}\)

[Efendi]

Pierwsze zrobiłem w ten sposób, że sprowadziłem nierówność do:
\(\displaystyle{ \sqrt{\frac{\sqrt{2m}^{2}+\sqrt{2n}^{2}}{2}}\geq \frac{\sqrt{2m}+\sqrt{2n}}{2}}\)
i napisałem, że jest to prawda na mocy nierówności pomiędzy średnią arytmetyczną i kwadratową (dosłownie).
Za to zadanie dostałem 1(!) punkt, bo sprawdzających "nie przekonał" mój dowód. Co o tym myślicie?

[Piotr Rutkowski]

1 punkt na ile? W mojej ocenie powinieneś dostać punktów max, no ale moje zdanie akurat się nie liczy

[Efendi]

1/5. A właściwie dostałem 0,5 punktu, no ale, że nie dają połówek, to mi dali 1 pkt. Czy w OM też można się spotkać z takimi sprawdzającymi?

[mms]

A skąd masz już takie szczegółowe wyniki, jeśli wolno spytać?

[Efendi]

miałem swoje źródła w komisji Nie wiem czy wiecie, ale np. w moim okręgu wszystkie prace były sprawdzone do godziny 16 w dniu konkursu . A do ogłoszenia oficjalnego trzeba będzie jeszcze trochę poczekać.

[Wasilewski]

Może dali Ci tylko jeden punkt, bo nierówność była na tyle prosta, że można było spokojnie udowodnić bez korzystania z nierówności między średnimi. Uważam jednak tak samo, jak polskimisiek, że powinieneś dostać maksimum punktów, bo w treści zadania nie było podane, że nie można korzystać z nierówności między średnimi.

[Efendi]

Powracając do pytania - na OM nie robią takich rzeczy? Czy może trzeba udowadniać wszystkie twierdzenia z których się korzysta?

[DEXiu]

Efendi ==> Na OMie już "takich rzeczy" nie robią, tzn. możesz korzystać ze wszystkich ogólnie znanych i udowodnionych twierdzeń (więc w szczególności z nierówności klasycznych), a jeśli znasz jakieś "mniej popularne" to albo samemu udowadniasz, albo podajesz gdzie można znaleźć dowód. Ale szanujmy się - to jest konkurs rejonowy, dla normalnej (proszę mnie źle nie zrozumieć - mam nadzieję, że wiadomo o jaką "normalność" mi chodzi ) młodzieży licealnej, i wyjeżdżanie tutaj z takich rzeczy jest troszkę nie na miejscu. To trochę jak takie... popisywanie się wiedzą. I niestety popieram komisję. Skoro potrafiłeś się powołać, to powinieneś też potrafić udowodnić - dowody nierówności między średnimi dla dwóch argumentów są trywialne dla olimpijczyków, ale nie dla zwykłych licealistów. Natomiast pocieszę Cię - z kongruencji możesz korzystać na ŚKMie do woli Byle poprawnie

[Efendi]

DEXiu, nie mogę się z tobą zgodzić. To jest po pierwsze KONKURS, a więc wymaga wiedzy "ponadprzeciętnej" - z definicji . A ponadto nierówność pomiędzy średnimi jest takim samym twierdzeniem jak chociażby tw. Pitagorasa. Skąd mam wiedzieć które twierdzenie komisja uzna za wymagające dowodu, a które nie? Bo jeżeli te które nie są w programie liceum nie mogą być przetaczane bez dowodu, to co z kongruencjami? Co innego gdybym powoływał się np. na lemat Gaussa, ale mimo wszystko nierówność między średnimi to jeszcze nie ta półka. A może się mylę?
Poza tym z tego co wiem komisja po prostu nie bardzo wiedziała o co mi chodziło w rozwiązaniu.
Co masz na myśli przez "popisywanie się wiedzą"? Jeżeli znam bardziej zaawansowane twierdzenie to nie mogę użyć bo to będzie "szpan"? Nie przesadzajmy. Rozwiązanie ma być poprawne, a jego efektowność nie ma nic do rzeczy - przynajmniej nie na konkursie. Dlaczego miałbym robić wszystko na piechotę? Szkoda długopisu