Matematyka.pl

na trójkącie równoramiennym o długości podstawy 10cm i ramionach dł 13cm opisano okrąg i w ten trójkąt wpisano okrąg, oblicz odległość między środkami obydwu okręgów.

Rysujesz trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\) o podstawie \(\displaystyle{ AB}\).
Środek podstawy oznaczasz jako \(\displaystyle{ K}\).
Jeśli poprowadzisz 3 promienie \(\displaystyle{ (r)}\) okręgu wpisanego o środku w punkcie \(\displaystyle{ O}\) to otrzymasz 3 deltoidy, z których dwa są przystające. Podziel deltoidy przekątnymi \(\displaystyle{ AO}\), \(\displaystyle{ BO}\), \(\displaystyle{ CO}\). Teraz widać, że jest 6 trójkątów prostokątnych o wysokości równej r, z czego 4 są przystające i mają podstawę dł. 5, a 2 pozostałe (też przystające) podstawę dł. 8.
Obliczasz wysokość trójkąta - 12.
Pole trójkąta jest równe:
\(\displaystyle{ 0,5*10*12 = 60}\)
A więc:
\(\displaystyle{ 4*(0,5*5*r) + 2*(0.5*8*r) = 60}\)
\(\displaystyle{ r = \frac{10}{3}}\)
Teraz pozostaje obliczyć tylko promień okręgu opisanego o środku w punkcie S i promieniu \(\displaystyle{ R}\), bo szukany odcinek ma dł. \(\displaystyle{ 12 - r - R}\)
Oznaczasz środek boku AC punktem P.
I z tw. Talesa:
\(\displaystyle{ \frac{|CP|}{8} = \frac{|CS|}{12 - \frac{10}{3}}}\)
\(\displaystyle{ |CS| = R = \frac{169}{24}}\)

I na koniec obliczasz długość odcinka \(\displaystyle{ |OS|}\):
\(\displaystyle{ |OS| = 12 - \frac{10}{3} - \frac{169}{24} = \frac{13}{8}}\)

Nie jestem pewien czy to jest dobrze, ale patrząc na rysunek to właśnie coś koło tego powinno wyjść.

Ag5 pisze:Nie jestem pewien czy to jest dobrze

Dobrze. Tylko według mnie trochę skomlikowane. Wyskość h prościej wyliczyć z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie AKC. Dalej łatwo wyznaczam pole i ze wzorów \(\displaystyle{ P=\frac{a b c}{4R}=p r, \ gdzie \ p=\frac{a+b+c}{2}}\) wyznaczam R i r.

Słabym punktem tego rozwiązania jest stwierdzenie, że \(\displaystyle{ |OS|= h-R-r.}\) Tutaj akurat tak jest, ale formalnie wypadałoby tego dowieść w sposób "bezrysunkowy", co - w przypadku trójkąta równoramiennego - nie jest trudne.