Matematyka.pl

Niech ciąg \(\displaystyle{ b_n}\) będzie określony wzorem: \(\displaystyle{ b_n=\frac{1}{a_1+a_2}+\frac{1}{a_2+a_3}+...+\frac{1}{a_n+a_{n+1}}}\) gdzie \(\displaystyle{ a_n}\) jest dowolnym ciągiem arytmetycznym o wyrazach różnych od zera oraz nie jest ciągiem stałym.

Obliczyć granicę \(\displaystyle{ \lim_{n->\infty} \frac{b_n}{a_1}}\)

Zauważ, że:
\(\displaystyle{ a_{n}=a_{1}+(n-1)r=c+nr \ \ \ , \ \ \ c \ - \ pewna\ stala}\)
Teraz:
\(\displaystyle{ dla\ n\to\infty\ i\ r>0\ b_{n}=\frac{1}{c}+\frac{1}{c+r}+...+\frac{1}{c+nr}+...>\frac{1}{a}+\frac{2}{c+3r}+\frac{4}{c+7r}+...+\frac{2^{n}}{c+(2^{n-1}-1)r}}\)

Zauważ, że wyrazu ciągu po lewej stronie zbliżają się do 0.5 r, więc szereg po lewej jest rozbieżny. Więc ciąg po lewej jest rozbieżny + nieskończoności, więc po prawej też jest rozbieżny do + nieskończoności. Granica więc zależy od znaku a1.

Oczywiście rozumowanie ma luki, bo nierówność nie jest spełniona dla a1