Matematyka.pl

MalinaZMelonami pisze:Jednym z ciekawszych jest to równanie:
... 7l5da6.png

PS: Wybaczcie, że nie przepisałem, ale to jest trochę długie.

A możesz napisać co w nim ciekawego?

a4karo, a nie przypomina Ci to chorwackich twierdzeń?

Skoro odświeżyliście temat, to może ja dorzucę moją ostatnią fascynację:

\(\displaystyle{ e ^{ix} = \cos x - i \sin x}\)

Zauroczyło mnie, że można tak połączyć algebrę z trygonometrią. Później bawiłem się w dowodzenie na podstawie tego wzoru "objawionych" tożsamości trygonometrycznych z liceum, przy okazji poszerzając swoją wiedzę o liczbach zespolonych. Chęć udowodnienia tego twierdzenia skłoniła mnie też do poznania wzór Taylora i Maclaurina (swoją drogą też zasługujące na obecność w tym temacie).

Podstawiając \(\displaystyle{ \pi}\) za \(\displaystyle{ x}\) dostaje się wymieniony w pierwszym poście wzór \(\displaystyle{ e^{i \pi} - 1 = 0}\).

Toliman pisze:Skoro odświeżyliście temat, to może ja dorzucę moją ostatnią fascynację:

\(\displaystyle{ e ^{ix} = \cos x - i \sin x}\)

Tylko że to nie jest prawda

Nie czasem - \(\displaystyle{ e^i^ \pi+1=0}\) ?

A cóż to za różnica? Plus, czy minus? Ważne , że wzorek ładny. Prawdziwy być nie musi

no zaraz... dla zera ładny i prawdziwy

Trzeba by potraktować go jak równanie i rozwiązać. Więc tak samo prawdę dostaniemy dla całkowitych wielokrotności \(\displaystyle{ \pi}\). Istotnie, mamy wtedy \(\displaystyle{ \cos x-i\sin x=\cos x+i\sin x}\), co jest równoważne temu, że \(\displaystyle{ \sin x=0}\), więc \(\displaystyle{ x=k\pi}\), gdzie \(\displaystyle{ k\in\ZZ}\).

\(\displaystyle{ a^b ^ ^c}\) \(\displaystyle{ =}\) \(\displaystyle{ c^b ^ ^a}\) \(\displaystyle{ a,b,c\in R}\)
Też wygląda ładnie

Tyle, że to raczej nie wzór, tylko równanie.

JK

Wzór na potęgę o zpotegowanym wykladniku

O wzorze moglibyśmy mówić, gdyby ta równość zachodziła dla dowolnych \(\displaystyle{ a,b,c}\). A ponieważ nie zachodzi, więc masz równanie, a nie wzór.

JK

Ja nie mam zdania na temat wzoru "najpiękniejszego" w matematyce bo jakie są wytyczne "piękności" wzoru matematycznego? Natomiast z racji zawodu (programista) mam swoje typy na temat wzoru najbardziej przydatnego. Otóż uważam za najbardziej przydatny wzór Taylora. Komputery nie działają na liczbach rzeczywistych ale na ich przybliżeniach do wielu (ale skończenie wielu) cyfr znaczących.
Nie jest może krótki, nie jest może prosty (obliczenie piętnastej pochodnej z skomplikowanej funkcji jest często żmudne ale nie trudne)ale…

1. Działa zarówno dla \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) jak i \(\displaystyle{ \mathbb{C}}\),
2. Działa dla funkcji jednej zmiennej i wielu zmiennych,
3. Wykorzystuje 4 podstawowe działania arytmetyczne, które każdy potrafi szybko wykonać chociażby w słupku: \(\displaystyle{ +}\), \(\displaystyle{ -}\), \(\displaystyle{ \cdot}\), \(\displaystyle{ /}\).

I w zasadzie jest tylko jeden warunek: funkcja musi być różniczkowalna \(\displaystyle{ k+1}\) razy.

Jest to mój typ na najbardziej praktyczny wzór matematyczny. Tam gdzie zawodzą metody symboliczne, wkracza wzór Taylora i robi wielki nokaut tamtym metodom
A w życiu często tak jest, że rzadko jest wymagana dokładna wartość (chyba, że liczy się zadania nie praktyczne ale dla samego liczenia zadań, tak jest np w szkołach). Dlatego ostatnio zafascynowałem się metodami aproksymacyjnymi np. w rozwiązywaniu równań i układów równań różniczkowych.

kruszewski pisze:Wzór na pole sfery.

\(\displaystyle{ A=4 \cdot \pi \cdot R^2}\)

A rysunek przestrzenny i wyobrażanie sobie jak te cztery koła się układają pokrywając sferę jest też fascynujący.
W.Kr.

kruszewski, jest Pan w stanie podlinkować mi taką animację? Bo szukam szukam i nie mogę znaleźć.

Z góry dziękuję : )

Mini OT: Ciekawi mnie, czy są jakieś elementarne dowody na wyprowadzenie tego wzoru.

\(\displaystyle{ 1 = \frac{2}{3-1} = \frac{2}{3-\frac{2}{3-1}} = \frac{2}{3-\frac{2}{3-\frac{2}{3-\ldots}}}\\
2 = \frac{2}{3-2} = \frac{2}{3-\frac{2}{3-2}} = \frac{2}{3-\frac{2}{3-\frac{2}{3-\ldots}}}\\
1 = 2}\)

I taki sam wniosek, że \(\displaystyle{ 1=2}\) płynie z paradoksu Banacha-Tarskiego