Jaki jest najpiękniejszy wzór matematyki?

[mdd]

Moje ulubione wzorki :

1) Dotyczy... widać czego dotyczy:

\(\displaystyle{ S^{k+1}_n + \sum_{i=1}^{n} S^{k}_i = (n+1) \ S^{k}_n}\)

gdzie:

\(\displaystyle{ S^{k}_n = 1^k + 2^k + 3^k + ... +n^k}\)

2) Dotyczy spirali Archimedesa:

\(\displaystyle{ L \approx \pi d n^2}\)

3) Dotyczy .... wiadomo czego dotyczy:

\(\displaystyle{ S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}\)

[gildon]

W takim razie napiszę tu pierwszy mój sensowny post
Najpiękniejszy wzór matematyki to dla mnie to:
\(\displaystyle{ c^{2}= a^{2}+b^{2}-2ab\cos\alpha}\)

[kruszewski]

W geometrii to ten na pole sfery.
Pole sfery równe jest czterem polom jej wielkich kół
\(\displaystyle{ P=4 \pi R^2}\)
W analizie, to ten:
\(\displaystyle{ \int e^x dx=e^x +C}\)
Oba mają swoisty smaczek.
W.Kr.

[Spektralny]

\(\displaystyle{ \mbox{Tr}(A) = \int\limits_B \langle Ax, x\rangle m(\mbox{d}x)}\)

gdzie \(\displaystyle{ A}\) jest macierzą stopnia \(\displaystyle{ n}\), a \(\displaystyle{ m}\) jest znormalizowaną miarą Lebesgue'a na [s]kuli[/s] sferze jednostkowej \(\displaystyle{ B}\) w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^n}\), tzn. \(\displaystyle{ \mu(B)=1}\).

Mówiąc po ludzku, ślad (dla mnie zawsze ślad, to ślad unormowany) to wartość oczekiwana funkcji \(\displaystyle{ \langle Ax, x \rangle}\).

[Wasilewski]

Ślad powinien być unormowany (tzn. \(\displaystyle{ \mbox{Tr}(\mbox{Id}) = 1}\)), a uśrednianie powinno być raczej po sferze, wtedy wszystko się zgadza.

[Gouranga]

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{k} (2n-1) = k^2}\)

piękno w czystej postaci

a drugi to:

\(\displaystyle{ \begin{cases}a,b,k \in \mathbb{N} \\
a+k = b\\
\sqrt{a} \in \mathbb{N}\\
\left(\sqrt{a} + 1\right)^2 > b
\end{cases} \Rightarrow \sqrt{a} + \frac{k}{2\sqrt{a}+1} < \sqrt{b} < \sqrt{a} + \frac{k}{2\sqrt{a}}}\)

[mdd]

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{k} (2n-1) = k^2}\)
piękno w czystej postaci

To ja dodam do tego wzór... chyba równie piękny :

\(\displaystyle{ 1^3+ 2^3+3^3+ \ ... \ +n^3=\left( 1+2+3 + \ ... \ + n\right)^2}\)

[yorgin]

Coś, co ostatnio bardzo mi się spodobało i jest dość zaskakujące:

\(\displaystyle{ \forall x\in \RR\setminus A\qquad \ \lim\limits_{n\to \infty} \sqrt[n]{\prod\limits_{k=1}^{n} a_i}=K_0}\)

gdzie

\(\displaystyle{ x=[a_0a_1a_2\ldots]=a_0+\frac{1}{a_1+\frac{1}{a_2+\ldots}}}\)

jest ciągłym ułamkiem łańcuchowym dla \(\displaystyle{ x}\) oraz \(\displaystyle{ A}\) jest zbiorem zerowej miary. Liczba \(\displaystyle{ K_0}\) jest stałą Khintchine'ta, którą można wyrazić również wzorem

\(\displaystyle{ K_0 = \prod_{r=1}^\infty {\left( 1+{1\over r(r+2)}\right)}^{\log_2 r} \approx 2.6854520010\ldots}\)

[Enigmus]

Piękno wyssanego z palca wzoru już pewien matematyk w kłótni z filozofem podawał:

\(\displaystyle{ a + \frac{b}{n} = x}\)

Niestety nie pamiętam, który matematyk zagiął tego filozofa(śmiga przed oczami mi Euler, ale ręki nie dam sobie odciąć). Jak to było: Kłócą się, czy Bóg jest, czy nie, a tu nasz wzór od matematyka, czyli ,,,[wzór], więc Bóg istnieje.". Filozof bezradny. <śmiech>

[Kaf]

Enigmus, mnie śmiga przed oczami Euler, ale z tym wzorem:
\(\displaystyle{ (x+y)^2=x^2+2xy+y^2}\)
Na pewno jest to zapisane w którejś książke, którą mam w szafce, więc ruszam na poszukiwania.

[grego123]

żaden jeśli już to:

\(\displaystyle{ 1+1=2}\)

[Fritillaria]

Moim zdaniem każdy wzór, który ułatwia/umożliwia rozwiązanie zadania jest piękny.

Jeśli kogoś interesuje wzór Eulera na istnienie Boga:

Ukryta treść:    

W okresie pracy Eulera w Petersburgu przebywał w Rosji na zaproszenie Katarzyny II francuski filozof Denis Diderot, który był sztandarowym przedstawicielem Oświecenia, przez co gorszył petersburski dwór swoim wolnomyślicielstwem oraz ateizmem. Cesarzowa zaalarmowana, że argumenty jej gościa za ateizmem wpływają na członków jej dworu, poprosiła Eulera o stanięcie do konfrontacji z Diderotem. Francuz został poinformowany, że uczony matematyk opracował dowód na istnienie Boga; Diderot zgodził się na publiczne zaprezentowanie tego dowodu przez Eulera przed cesarskim dworem. W ustalonym czasie Euler przybył, skierował swe kroki ku Francuzowi i stanąwszy przed nim, tonem całkowitej pewności siebie oznajmił:
- Panie! Otóż \(\displaystyle{ \frac{(a+b^n)}{n} = x}\), a więc Bóg istnieje. Cóż Pan na to?!
Diderot, który nie był dyletantem matematycznym stał osłupiały, aż salwy śmiechu wybuchnęły wśród całego dworu.
Zażenowany, poprosił o pozwolenie opuszczenia Rosji, na co cesarzowa łaskawie się zgodziła.

Myślę, że o tę sytuacje i ten wzór wam chodziło

[Simon86]

Ciekawe co oznaczają literki w tym wzorze

[Gouranga]

pewnie są absolutnie bez znaczenia jak wszystko co związane z bogiem
poza tym to było dawno, wiadomo przecież, że \(\displaystyle{ i \in \mathbb{C}}\) więc bóg nie istnieje

[robertm19]

\(\displaystyle{ EX}\) - wartość średnia, mnie nauczyła czego od życia oczekiwać np. w grach losowych mam dużą przewagę nad laikami