Jaki jest najpiękniejszy wzór matematyki?

[oluch-na]

Mógłbyś Frey wykazać ten wzór? Ciekawa jestem jak to znalazłeś

[Nakahed90]

\(\displaystyle{ log_{\sqrt{a}}\sqrt{b}=log_{\sqrt{a}}b^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}log_{\sqrt{a}}b=\frac{1}{2log_{b}\sqrt{a}}=\frac{1}{2log_{b}a^{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{2\cdot \frac{1}{2}log_{b}a}=\frac{1}{log_{b}a}=log_{a}b}\)

[Frey]

Mógłbyś Frey wykazać ten wzór? Ciekawa jestem jak to znalazłeś

Patrzyłem długo na kilka zadań rachunkowych i tak wpadłem przypadkiem. I potem trzaskałem zadania dużo szybciej, choć dowód tego zrobiłem wiele miesięcy później.

Właśnie tak jak Nakahed90 pokazał powyżej. Dzięki Nic niby wielkiego, ale jak wpadło się na to przypadkiem to robiło na mnie wrażenie

[tomalla]

Mnie już od dłuższego czasu fascynuje następująca równość:

\(\displaystyle{ \int^{+\infty}_{-\infty}e^{-x^2}dx=\sqrt{\pi}}\)

To jest całka Poissona, jeżeli dobrze pamiętam. Dowód jest związany chyba z całkami podwójnymi ... ?

[xiikzodz]

Dowód jest wyjątkowo pouczający i elegancki.

Liczy się kwadrat tej całki, czyli:

\(\displaystyle{ \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\mbox{d}x\cdot \int_{-\infty}^\infty e^{-y^2}\mbox{d}y}\)

Z tw. o zamianie kolejności całkowania (Fubini) jest to równe:

\(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}\cdot e^{-y^2}\mbox{d}x\mbox{d}y=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2-y^2}\mbox{d}x\mbox{d}y=}\)

\(\displaystyle{ \boxed{\begin{array}{c}f(x,y)=(r\sin \varphi,r\cos\varphi)\\\\ Jf=r\sin^2\varphi+r\cos^2\varphi=r\end{array}}}\)

\(\displaystyle{ =\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\infty}e^{-r^2}r\mbox{d}r\mbox{d}\varphi=2\pi\int_0^\infty e^{-r^2}r\mbox{d}r=2\pi\left[-\frac 12e^{-r^2}\right]_0^\infty=2\pi\cdot\left(\frac 12\right)=\pi}\)

Zatem wyjściowa całka to \(\displaystyle{ \sqrt\pi}\).

[miki999]

A można taką równość udowodnić korzystając z funkcji rozkładu Gaussa, czy to już nie będzie zbyt eleganckie?

\(\displaystyle{ \int_{ -\infty }^{ \infty } \frac{1}{ \sigma \sqrt{2 \pi} } e^{- \frac{(X- \overline{ X} )^{2}}{2 \sigma ^{2}}} =1\\ \\ \overline{X}=0 \ \wedge \ \sigma = \frac{ 1 }{ \sqrt{2} } \\ \int_{ -\infty }^{ \infty } \frac{1}{ \frac{ 1 }{ \sqrt{2} } \sqrt{2 \pi} } e^{- X ^{2} } =1 \\ \int_{ -\infty }^{ \infty } e^{-X^{2}} = \sqrt{ \pi }}\)

[scyth]

a jak udowodnisz rozkład gaussa...?

[gosia.]

Hmmm

Tak sobię patrzę i szukam tematu w którym mógłbym napisac pierwszego posta. Ponieważ szukałme jakiegoś wzglednie łatwego tematu to trafiłem tutaj


Najładniejszy wzór matematyczny.
Najładniejszych jest kilka - ja jednak napiszę taki, który lubie najbardziej

a � +b � =c �

Dlaczego ten =p?

No cóż - odpowiedź jest prosta. Nie mówię, że wasze wzory są brzydkie ale na pewno są mniej użyteczne niż Twierdzenie Pitagorasa =p

TZN. Z waszych chyba nie będę korzystał a z tego mi się zdarzało w życiu codziennym.

Po za tym jest łatwy =p I poznałem go dawno temu jako jeden z pierwszych wzorów jakie poznałem

Twierdzenie Pitagorasa jest spoczko, ale twierdzenie cosinusów... To mój mistrz!

\(\displaystyle{ a^{2}= b^{2}+c^{2}-2ab\cos\alpha}\)

Tyle zadanek dzięki niemu rozwiązanych... ahhh ^^

[Przemas O'Black]

Hmmm

Tak sobię patrzę i szukam tematu w którym mógłbym napisac pierwszego posta. Ponieważ szukałme jakiegoś wzglednie łatwego tematu to trafiłem tutaj


Najładniejszy wzór matematyczny.
Najładniejszych jest kilka - ja jednak napiszę taki, który lubie najbardziej

a � +b � =c �

Dlaczego ten =p?

No cóż - odpowiedź jest prosta. Nie mówię, że wasze wzory są brzydkie ale na pewno są mniej użyteczne niż Twierdzenie Pitagorasa =p

TZN. Z waszych chyba nie będę korzystał a z tego mi się zdarzało w życiu codziennym.

Po za tym jest łatwy =p I poznałem go dawno temu jako jeden z pierwszych wzorów jakie poznałem

Twierdzenie Pitagorasa jest spoczko, ale twierdzenie cosinusów... To mój mistrz!

\(\displaystyle{ a^{2}= b^{2}+c^{2}-2ab\cos\alpha}\)

Tyle zadanek dzięki niemu rozwiązanych... ahhh ^^

Przykre.

[smigol]

Twierdzenie Pitagorasa jest spoczko, ale twierdzenie cosinusów... To mój mistrz!

\(\displaystyle{ a^{2}= b^{2}+c^{2}-2ab\cos\alpha}\)

Tyle zadanek dzięki niemu rozwiązanych... ahhh ^^

Na Twoim miejscu bym się tym nie chwalił.

[Yaco_89]

edit: nie złapałem o co chodzi przedmówcom bo nie przyjrzałem się samemu wzorowi i nie zauważyłem literówki. dlatego zmieniam ten fragment wypowiedzi bo w poprzednim kształcie nie miał sensu

żeby nie było OT: dla mnie nie ma czegoś takiego jak "najpiękniejszy wzór" bo gotowe wzory są tak naprawdę wierzchołkiem góry lodowej, a piękne są twierdzenia i rozważania które do nich prowadzą. no ale mój ulubiony na chwilę obecną to chyba wzór Greena albo Gaussa-Ostrogradskiego, bo oba czasem bardzo ułatwiają życie (a wyprowadzenia też mają fajne), a moim zdaniem taka jest właśnie rola wzorów

[scyth]

Dajcie jej spokój, normalna literówka się przydarzyła i tyle.

[smigol]

szczerze mówiąc, to nawet nie zauważyłem tej literówki. I nie o to mi chodziło.

[Zordon]

Też nie zauważyłem Ale z fałszywego wzoru można wyprowadzić dużo więcej niż z prawdziwego. To zresztą rzecz bardzo ciekawa .

A co do ładnych wzorów to dorzucam:
\(\displaystyle{ \kappa \cdot \kappa=\kappa}\)
gdzie \(\displaystyle{ \kappa \ge \aleph_0}\) jest liczbą kardynalną

[Przemas O'Black]

Póki co mój faworyt

\(\displaystyle{ \kappa_1+\kappa_2=max(\kappa_1,\kappa_2)}\)

o ile chociaż jedna z tych liczb jest nieskończona.