zagadnienie początkowe, równanie Riccatiego

[amizu]

Bardzo prosiła bym o pomoc w rozwiązaniu zadania:

1.Rozwiązać zagadnienie początkowe

a) \(\displaystyle{ y''=2xy'}\) przy \(\displaystyle{ y(0)=1 y'(0)=1}\)
b) \(\displaystyle{ y''=2yy'}\) przy \(\displaystyle{ y(0)=1 y'(0)=1}\)

2. Znaleźć rozwiązanie ogólne równania Riccatiego

\(\displaystyle{ 3xy'=-xy^2+y-\frac{4}{x}}\)

wyznaczajac rozwiazanie ogólne w postaci \(\displaystyle{ y1=\frac{a}{x}}\)

[luka52]

1. a) podst. p=y'
b) całkując obustronnie mamy:
\(\displaystyle{ y' = y^2 + C_1}\)
i dalej rozw...

2. To nie jest równanie Riccatiego o.O?

[amizu]

czyli pierwsze po podstawieniu,,

\(\displaystyle{ p'=2xp}\)
\(\displaystyle{ \frac{dp}{dx}=2xp}\)
po scałkowaniu
\(\displaystyle{ lnp=x^2+C}\)
tak?

2. To zadanie mam na kartce z zadaniami z egzaminu. Jest taka treść jak podałam więc coś nie tak;/

[luka52]

czyli pierwsze po podstawieniu,,

Tak, wyliczasz p=... i wracasz do zmiennej y.

A co do drugiego, to "zanik" tej drugiej pochodnej bardzo wiele zmienia...

[amizu]

1. czyli to bedzie:
a)
\(\displaystyle{ p=e^{x^2}+C_{1}}\)
a potem:
\(\displaystyle{ y'=e^{x^2}+C_{1}}\)
\(\displaystyle{ y''=2xe^{x^2}+C_{2}}\)

i potem wyliczam te C podstawiając za \(\displaystyle{ p'(0)=p''(0)=1}\)
tak?

b)
czyli:
odrazy podstawiam

\(\displaystyle{ 1=C_1}\)
\(\displaystyle{ 1=C_2}\)

i tylko tyle;/?

2. ;/ przepraszam nie wiedziałam;/ ze to wszystko zmienia.

[luka52]

ad 1. a) nie, ma być:
\(\displaystyle{ p = C_1 e^{x^2}\\
y = t p \, = C_1 t e^{x^2}\, + C_2}\)

ad 2.
Wystarczy podstawić \(\displaystyle{ y = \frac{a}{x}}\) i wyliczyć a.
Odp.: y=2/x.

ad 1. b)
ja bym to rozwiązał tak:
\(\displaystyle{ \frac{dy}{dx} = y^2 + C_1\\
\frac{dx}{dy} = \frac{1}{y^2 + C_1}\\
x = \frac{\arctan \frac{y}{\sqrt{C_1}}}{\sqrt{C_1}} + C_2 \iff y = - \sqrt{C_1} \tan ft(C_2 \sqrt{C_1} - x \sqrt{C_1} \right) \iff \\ \iff y = \sqrt{C_1} \tan ft( x \sqrt{C_1} - C_2 \sqrt{C_1} \right)}\)

[amizu]

Dziękuje za pomoc. Tak roche po czasie zagladam.