układ równań różniczkowych

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
micard
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 10 lut 2008, o 16:57
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

układ równań różniczkowych

Post autor: micard » 10 lut 2008, o 17:02

Witam, mam taki mały problemik do rozwiązania: \(\frac{du}{dt} =-\alpha u - \beta v\) \(\frac {dv}{dt}=\gamma v^{2}\) ponieważ drugie mogę rozwiązać przez rozdzielenie zmiennych dochodzę do \(\frac{du}{dt}=\alpha u - \frac {1}{\gamma t + C_{0}}\) czego już nie mogę ruszyć... Może ktoś mi z tym pomóc ? z góry wielkie dzięki

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków

układ równań różniczkowych

Post autor: luka52 » 10 lut 2008, o 19:16

Drobny błąd popełniłeś wstawiając rozw. do pierwszego r.
Niemniej jednak pewne 'problemy' się pojawią. Równanie rozwiązujemy standardowo - wpierwej jednorodne a potem np. uzmiennianie stałej. Kłopot to to, że w końcowym rozwiązaniu pojawią się funkcje nieelementarne, ale to chyba nie jest problem :?:
A tak btw. to co należy wyznaczyć? v(t) i u(t), czy też u(v) lub v(u) :?:

micard
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 10 lut 2008, o 16:57
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

układ równań różniczkowych

Post autor: micard » 10 lut 2008, o 19:27

u(t) i v(t) hmm.. jaki błąd popełniłem?

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków

układ równań różniczkowych

Post autor: luka52 » 10 lut 2008, o 19:29

hmm.. jaki błąd popełniłem?
Brak \(\beta\) i znaki nieco pomieszałeś.

micard
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 10 lut 2008, o 16:57
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

układ równań różniczkowych

Post autor: micard » 10 lut 2008, o 19:41

Racja.. przepisywałem za szybko powinno być \(\frac{du}{dt}=\alpha u - \frac {- \beta}{\gamma t + C_{0}}\) uzmienniając stałą dostaję w koncu \(\frac{ dC_{1}}{dt}=- \frac{\beta e^{-\alpha t}}{\gamma t + C_{0}}\) i tu stop :/

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków

układ równań różniczkowych

Post autor: luka52 » 10 lut 2008, o 19:51

powinno być
Nie :/ Powinno być: \(u' = - u + \frac{\beta }{\gamma t + C_0}\) Rozw. r. jednorodnego: \(u = C_1 e^{- t}\) Uzmienniając stałą: \(u' = - e^{- t} C + e^{- t} C'\) Podstawiając do r.: \(- e^{- t} C + e^{- t} C' = - C e^{- t} + \frac{\beta }{\gamma t + C_0}\\ e^{- t} C' = \frac{\beta }{\gamma t + C_0}\\ C' = \frac{\beta e^{\alpha t}}{\gamma t + C_0}\\ C = t \frac{\beta e^{\alpha t}}{\gamma t + C_0} \, \mbox{d}t\\ u = e^{- t} t \frac{\beta e^{\alpha t}}{\gamma t + C_0} \, \mbox{d}t\)

micard
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 10 lut 2008, o 16:57
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

układ równań różniczkowych

Post autor: micard » 10 lut 2008, o 19:59

Wielkie dzięki za rozwianie wątpliwości.. muszę trochępopracować nad cierpliwością przy wklejaniu równań Pozdrawiam

ODPOWIEDZ