Matematyka.pl

1. Wyznacz wartość parametru m, dla których suma kwadratów pierwiastków równania

x^2 - 3mx + m^2 = 0

jest równa 1,75.


2. Dla jakich wartości parametru m funkcja

f(x) = (m-2)x^2 - 3x + mx + 1

przyjmuje wartości dodatnie dla każdego x rzeczywistego.

3. Dla jakich wartości m jeden pierwiastek równania x^2-(m+1)x + 6/5m = 0 jest równy sinusowi, a drugi cosinusowi tego samego kąta.

Dziękuję za pomoc.

Zad. 1

x^2-3mx+m^2=0

delta=9m^2-4m^2=5m^2

sqrt(delta)=m*sqrt(5)

Rozwiązania równania to:

[3m-m*sqrt(5)]/2
i
[3m+m*sqrt(5)]/2

Dodajemy kwadraty tych pierwiastków I musimy otrzymać 1,75=7/4


([3m+m*sqrt(5)]^2+[3m+m*sqrt(5)]^2)/4=7/4

Teraz szybka redukcja po podniesieniu do kwadratu I mamy wynik

28m^2=7

m^2=1/4

m-1/4=0

(m-1/2)(m+1/2)=0

m=1/2 lub m=-1/2


Zad. 2

f(x) = (m-2)x^2 + (m-3)x + 1

Funkcja przyjmuje wartości dodatnie, gdy punkt y wierzchołka jest dodatni i a>0, więc

m-2>0
i
-[(m-3)^2-4(m-2)]/[4(m-2)]>0

m>2
i
(m^2-6m+9-4m+8)/(4m-8)2, więc drugie mianownik w drugim równaniu będzie większy od 0, więc po pomnożeniu przez niego znak nierówności się nie zmienia

m>2
i
m^2-10m+17

Ad. 3

Nie wiem do końca jak mam rozumieć zapis 6/5m, ale najwygodniej o tym myśleć, że to (5/6)*m Więc do roboty:

Niech s, t to pierwiastki tego rownania.
Ma być, że sin(z)=s i cos(z)=t.
Wiemy, że: (sin(z))^2 + (cos(z))^2 = 1, więc i s^2 + t^2 = 1.
Ale: s^2 + t^2 = s^2 + 2st + t^2 - 2st = (s+t)^2 - 2st.
A skoro s, t to pierwiastki równania kwadratowego, to ze wzorów Viete`a wiemy, że s+t = -a/b i st = c/a , gdzie a,b,c to odpowiednio współczynniki równania kwadratowego (ax^2+bx+c).
A zatem mamy, że:
(s+t)^2 - 2st = (-b/a)^2 - 2c/a = (b^2)/(a^2) - (2ca)/(a^2) =
= (b^2 - 2ca)/(a^2)

I teraz podstawiamy do otrzymanego równania odpowiednie współczynniki, pamiętając, że na końcu przyrównamy je (równanie) do 1 (na co nam pozwala jedynka trygonometryczna).
Więc mamy:
(m+1)^2- 2*(6/5)*m = 1 bo: a=1, b=-(m+1), c=(6/5)m
m^2 + 2m + 1 - (12/5)m - 1 = 0 | *5
5m^2 + 10m + 5 - 12m - 5 = 0
5m^2 - 2m = 0
m(5m - 2) = 0 m = 0 lub m = 2/5.
Pozdrawiam

kej.ef pisze:Nie wiem do końca jak mam rozumieć zapis 6/5m, ale najwygodniej o tym myśleć, że to (5/6)*m

No jak to tak jak jest uznane w oznaczeniach 6/5m=6m/5, a nie wiem skąd się wzięło (5/6)*m

Jeszcze raz dzięki.

Aha to już bedę wiedział na przyszłość. W każdym bądź razie ten sposób który przedstawiłem zadziała i w tym przypadku. Pozdrawiam