Matematyka.pl

Witam mam problem z dwoma calkami:
1) ∫ (1/sinx)dx
2) ∫ (1/(1-x^2))dx

jakby ktos mnie naprowadzil, to bylbym wdzieczny
pozdrawiam
student z opola

W przypadku pierwszego korzystasz ze wzorow tangensa polowkowego:

\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{sinx} \\ \\ sinx= \frac{2t}{1+t^2} \\ t=tg(\frac{x}{2}) \\ x=2arctgt \\ dx=\frac{2dt}{1+t^2}}\)

Reszta mysle, ze jest juz jasna, wynikiem jest \(\displaystyle{ ln|tg(\frac{x}{2})|}\)

A w drugim:

\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{1-x^2}}\)

Rozkladasz na ulamki proste \(\displaystyle{ \frac{A}{1-x}+\frac{B}{1+x}}\) i liczysz normalnie dalej te dwie calki, wynikiem jest tu: \(\displaystyle{ \frac{ln|x+1|}{2}-\frac{ln|x-1|}{2}}\)

jesli chodzi o te calki to jak rozwiazesz druga to masz rozwiazanie pierwszej:D
jesli chodzi o pierwsza calke to pomnoz licznik i mianownik przez sinx, otrzymasz w mianowniku \(\displaystyle{ \sin^{2}x}\) i trzeba to zamienic z 1 trygonometrycznej na \(\displaystyle{ 1-\cos^{2}x}\). teraz skorzystaj z metody podstawienia podstawiajac \(\displaystyle{ t=\cos x}\)
powinienes otzymac cosik takiego
\(\displaystyle{ t=\cos x dt=-\sin x dx}\)
\(\displaystyle{ \int\frac{\sin xdx}{1-\cos^2 x}}\)
\(\displaystyle{ \int\frac{-dt}{1-t^2}}\)
czyli ta sama calka co u gory
a nad jej rozwiazaniem jeszcze chwilke podumam i napisze za momencik
pzdr

rozwiązanie pierwszej całki w wersji mojej że tak powiem :

\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{sinx} = \int \frac{dx}{2sin( \frac{x}{2}) cos( \frac{x}{2})}}\)
teraz pomnożę przez "mądrą jedynkę" ( zwrot pewnego doktorka z wydziału matmy )
\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{2 sin( \frac{x}{2}) cos( \frac{x}{2})} \frac{cos( \frac{x}{2})}{cos( \frac{x}{2})} = \frac{1}{2} \int \frac{cos( \frac{x}{2}) dx}{sin( \frac{x}{2}) cos^2( \frac{x}{2})} = \frac{1}{2} \int \frac{dx}{tg( \frac{x}{2}) cos^2( \frac{x}{2})}}\)

teraz podstawiamy \(\displaystyle{ t = tg(\frac{x}{2}) \ \ ; \ \ dt = \frac{dx}{cos^2(\frac{x}{2})}}\)
i ze wzoru podstawowego otrzymujemy ten wynik co djbolo. Przedstawiam to rozwiązanie, gdyż nie każdy pamięta ów wzorek opisujący relację między sinusem i tangensem ( i w sumie po co go pamiętać ? )

Undre pisze:...gdyż nie każdy pamięta ów wzorek opisujący relację między sinusem i tangensem ( i w sumie po co go pamiętać ? )

Niestety akurat te cztery wzory przy rozwiazywaniu całek trygonometrycznych powinny byc w pamieci:

\(\displaystyle{ \sin x=\frac{2\tg(\frac{x}{2})}{1+\tg^2(\frac{x}{2})} \\ \\ \cos x=\frac{1+\tg^2(\frac{x}{2})}{1-\tg^2(\frac{x}{2})} \\ \\ \sin x=\frac{\tg x}{\sqrt{1+\tg^2x}} \\ \\ \cos x=\frac{1}{\sqrt{1+\tg^2x}}}\)

Są one bardzo pomocne w tego typu calkach.

Wracajac do tematu, kontynuacja mojej wersji:

\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{\sin x} \\ \\ \sin x= \frac{2t}{1+t^2} \\ t=\tg(\frac{x}{2}) \\ x=2\arctg t \\ dx=\frac{2dt}{1+t^2} \\ \\ \int \frac{dx}{\sin x}= \int \frac{1}{\frac{2t}{1+t^2}} \frac{2dt}{1+t^2} = \int \frac{1+t^2}{2t} \frac{2dt}{1+t^2} = \int \frac{1}{t} dt = \ln|t| + C = \ln|\tg(\frac{x}{2})|+C}\)

Undre - przy dt zapomniales \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\), pokazesz rozwiazanie do konca Twojej wersji? Bo na razie nie widze tam krotkiego rozwiazania...

jezeli chodzi o rozwiazania djbolo i wyderka, to po czasie samemu udalo mi sie do nich dojsc, ale i tak dzieki wielkie za pomoc.
zawsze tez fajnie zobaczyc, ze ktos mysli podobnie
wogole fajne te forum, na pewno bede tutaj czesciej zagladal
pozdrawiam wszystkich i jeszcze raz dzieki wielkie
Krzys

djbolo fakt wciąłem połówke ale jest przed całką więc i tak mam od razu wynik nie ? nie wiem czego tu można nie widzieć ... jest jak pisałem.

a te wzory nadal twierdze są średnio potrzebne

No dobra juz wiem o co Ci chodzilo, jednak ja dalej jestem zwolennikiem tamtych wzorow, poza tym latwo je zapamietac rozwiazujac tego typu calki.

Wiesz wszystko zależy od podejścia, ja w przeciwieństwie do znajomych z roku na przykład wolę wiedzieć jak się wyprowadza wzory na niektóre całki, niż te wzory pamiętać, bo sam wzór nic mi nie mówi ( a może kwestia lekkiego niedowierzania ?). W sumie jeśli masz czas to wyprowadź te wzorki - chętnie zobaczę skąd się biorą

Pozdrawiam