Witam, jestem studentem inżynierii środowiska na uniwerku w Opolu w środe miałem egzamin z matematyki, niestety oblałem bo nie potrafie sobie poradzić z róźniczkami, w nadzieji że na nastepnym terminie we wtorek będą te same zadania proszę o pomoc. jeśli ktoś potrfiłby mi pomóc prosze o kontakt. Bedę wdzięczny i na pewno się zrewanżuje. Bardzo proszę o pomoc
\(\displaystyle{ \frac{ d^{3}y }{ dt^{3} }+ 3\frac{ d^{2}y }{ dt^{2} }+ 3\frac{ dy }{ dt }+y=1}\)
\(\displaystyle{ \frac{ d^{3}y }{ dt^{3} }+ 4\frac{ d^{2}y }{ dt^{2} }+ 5\frac{ dy }{ dt }+2y=1}\)
\(\displaystyle{ x( x^{2} +1)y'=y(1+x ^{2}) ^{2}}\)
\(\displaystyle{ y'= \frac{y+1}{x}}\)
i czy gdyby w pierwszym i drugim równaniu po znaku "=" występowało by zero to liczy się to tak samo ?
PROSZE O POMOC !!!
równania różniczkowe
-
luka52
- Użytkownik
- Posty: 8601
- Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 47 razy
- Pomógł: 1816 razy
równania różniczkowe
Przykłady 3 i 4
tutaj należy po prostu rozdzielić zmienne, tj. doprowadzić równania do postaci:
\(\displaystyle{ f(y) dy = g(x) dx}\)
i obustronnie scałkować.
Przykłady 1 i 2
Są to r. liniowe o stałych współczynnikach i najpierw należy znaleźć całkę równania jednorodnego, tj. r. postaci:
\(\displaystyle{ a_n \frac{d^n y}{dt^n} + a_{n-1} \frac{d^{n-1} y}{dt^{n-1}} + \ldots + a_0 = 0}\)
W tym celu podstawiamy \(\displaystyle{ y = e^{rt}, \quad y' = r e^{rt} , \quad \ldots}\) do równania (dla przykładu pokaże to na przykładzie pierwzego r.):
\(\displaystyle{ r^3 e^{rt} + 3 r^2 e^{rt} + 3 r e^{rt} + e^{rt} = 0\\
r^3 + 3r^2 + 3r + 1 =0 \iff r = -1}\)
r=-1 jest potrójnym pierwiastkiem zatem rozwiązaniem r. jednorodnego jest:
\(\displaystyle{ y_1 = C_1 e^{-x} + C_2 x e^{-x} + C_3 x^2 e^{-x}}\)
Następnie jako całkę szczególną r. niejednorodnego przewidujemy jakąś stałą, tj.:
\(\displaystyle{ y_2 = A}\)
Łatwo wyliczyć, że A=1.
Ostatecznie rozwiązaniem będzie \(\displaystyle{ y=y_1 + y_2}\)
tutaj należy po prostu rozdzielić zmienne, tj. doprowadzić równania do postaci:
\(\displaystyle{ f(y) dy = g(x) dx}\)
i obustronnie scałkować.
Przykłady 1 i 2
Są to r. liniowe o stałych współczynnikach i najpierw należy znaleźć całkę równania jednorodnego, tj. r. postaci:
\(\displaystyle{ a_n \frac{d^n y}{dt^n} + a_{n-1} \frac{d^{n-1} y}{dt^{n-1}} + \ldots + a_0 = 0}\)
W tym celu podstawiamy \(\displaystyle{ y = e^{rt}, \quad y' = r e^{rt} , \quad \ldots}\) do równania (dla przykładu pokaże to na przykładzie pierwzego r.):
\(\displaystyle{ r^3 e^{rt} + 3 r^2 e^{rt} + 3 r e^{rt} + e^{rt} = 0\\
r^3 + 3r^2 + 3r + 1 =0 \iff r = -1}\)
r=-1 jest potrójnym pierwiastkiem zatem rozwiązaniem r. jednorodnego jest:
\(\displaystyle{ y_1 = C_1 e^{-x} + C_2 x e^{-x} + C_3 x^2 e^{-x}}\)
Następnie jako całkę szczególną r. niejednorodnego przewidujemy jakąś stałą, tj.:
\(\displaystyle{ y_2 = A}\)
Łatwo wyliczyć, że A=1.
Ostatecznie rozwiązaniem będzie \(\displaystyle{ y=y_1 + y_2}\)
równania różniczkowe
nie za dużo z tego rozumiem :/ czyli to pierwsze równanie jest rozwiązane do końca ?
a ten drugi przykład to:
\(\displaystyle{ r^3 e^{rt} + 4 r^2 e^{rt} + 5 r e^{rt} + 2e^{rt} = 0\\ r^3 + 4r^2 + 5r + 2 =0 \iff r = -2}\)
i dalej ?
a czy mógłby mi ktoś pokazać jak rozwiązać przykład 3 i 4 ?
a ten drugi przykład to:
\(\displaystyle{ r^3 e^{rt} + 4 r^2 e^{rt} + 5 r e^{rt} + 2e^{rt} = 0\\ r^3 + 4r^2 + 5r + 2 =0 \iff r = -2}\)
i dalej ?
a czy mógłby mi ktoś pokazać jak rozwiązać przykład 3 i 4 ?