równania różniczkowe

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
jajdel
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 8 lut 2008, o 16:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Opole

równania różniczkowe

Post autor: jajdel » 8 lut 2008, o 16:40

Witam, jestem studentem inżynierii środowiska na uniwerku w Opolu w środe miałem egzamin z matematyki, niestety oblałem bo nie potrafie sobie poradzić z róźniczkami, w nadzieji że na nastepnym terminie we wtorek będą te same zadania proszę o pomoc. jeśli ktoś potrfiłby mi pomóc prosze o kontakt. Bedę wdzięczny i na pewno się zrewanżuje. Bardzo proszę o pomoc

\(\displaystyle{ \frac{ d^{3}y }{ dt^{3} }+ 3\frac{ d^{2}y }{ dt^{2} }+ 3\frac{ dy }{ dt }+y=1}\)

\(\displaystyle{ \frac{ d^{3}y }{ dt^{3} }+ 4\frac{ d^{2}y }{ dt^{2} }+ 5\frac{ dy }{ dt }+2y=1}\)

\(\displaystyle{ x( x^{2} +1)y'=y(1+x ^{2}) ^{2}}\)


\(\displaystyle{ y'= \frac{y+1}{x}}\)

i czy gdyby w pierwszym i drugim równaniu po znaku "=" występowało by zero to liczy się to tak samo ?

PROSZE O POMOC !!!
Ostatnio zmieniony 8 lut 2008, o 16:46 przez jajdel, łącznie zmieniany 1 raz.

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

równania różniczkowe

Post autor: luka52 » 8 lut 2008, o 22:58

Przykłady 3 i 4
tutaj należy po prostu rozdzielić zmienne, tj. doprowadzić równania do postaci:
\(\displaystyle{ f(y) dy = g(x) dx}\)
i obustronnie scałkować.

Przykłady 1 i 2
Są to r. liniowe o stałych współczynnikach i najpierw należy znaleźć całkę równania jednorodnego, tj. r. postaci:
\(\displaystyle{ a_n \frac{d^n y}{dt^n} + a_{n-1} \frac{d^{n-1} y}{dt^{n-1}} + \ldots + a_0 = 0}\)
W tym celu podstawiamy \(\displaystyle{ y = e^{rt}, \quad y' = r e^{rt} , \quad \ldots}\) do równania (dla przykładu pokaże to na przykładzie pierwzego r.):
\(\displaystyle{ r^3 e^{rt} + 3 r^2 e^{rt} + 3 r e^{rt} + e^{rt} = 0\\
r^3 + 3r^2 + 3r + 1 =0 \iff r = -1}\)

r=-1 jest potrójnym pierwiastkiem zatem rozwiązaniem r. jednorodnego jest:
\(\displaystyle{ y_1 = C_1 e^{-x} + C_2 x e^{-x} + C_3 x^2 e^{-x}}\)
Następnie jako całkę szczególną r. niejednorodnego przewidujemy jakąś stałą, tj.:
\(\displaystyle{ y_2 = A}\)
Łatwo wyliczyć, że A=1.
Ostatecznie rozwiązaniem będzie \(\displaystyle{ y=y_1 + y_2}\)

jajdel
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 8 lut 2008, o 16:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Opole

równania różniczkowe

Post autor: jajdel » 9 lut 2008, o 10:23

nie za dużo z tego rozumiem :/ czyli to pierwsze równanie jest rozwiązane do końca ?
a ten drugi przykład to:

\(\displaystyle{ r^3 e^{rt} + 4 r^2 e^{rt} + 5 r e^{rt} + 2e^{rt} = 0\\ r^3 + 4r^2 + 5r + 2 =0 \iff r = -2}\)


i dalej ?

a czy mógłby mi ktoś pokazać jak rozwiązać przykład 3 i 4 ?

ODPOWIEDZ