pająk vs mucha...

[dagoth]

Mamy pokój w kształcie prostopadłościanu o wymiarach 30mx12mx12m.
Pająk siedzi sobie na środku kwadratowej ściany 1m od sufitu.
Mucha natomiast na środku przeciwnej kwadratowej ściany 1m od podłogi.
Pająk może zjeść muchę tylko gdy dotrze do niej przechodząc droge krotsza niz 42m.
Co ma zrobić pająk byby zjeść tą muchę?
(zakładamy ze mucha z dowolnych powodów się nie rusza a pająk nie może używać pajęczyny)

[Nefertiti]

Jeśli pająk zejdzie na dół po prostej drodze, następnie pójdzie środkiem podłogi i skieruje się prosto do muchy, to odległość wyniesie 42 m. Ale pająk nie musi pokonać całej tej odległości, bo wystarczy, że łapnie ofiarę z odległości minimalnie mniejszej.

[dagoth]

powiem tak: ten pająk jest bardzo dokładny i żeby zjeść muchę musi dokładnie znależć sie na jej pozycji ,a musi przejść drogę mniejszą niż 42m więc twoje rozw. odpada...

[droopy]

pająk idzie na sufi (1m) przechodzi po nim nad muchę (kolejne 30m) i puszcza się sufitu, spada na muchę, jak nawet nie trfi na muchę to spadnie na podłogę skąd ma już tylko 1 m

[DEXiu]

Hmm. Nie wiem czy się gdzieś nie walnąłem w obliczeniach, ale mi wyszło że najkrótsza droga pająka do muchy wynosi \(\displaystyle{ \sqrt{37^{2}+17^{2}}\approx40,72
Jak nie wierzycie to sami sprawdźcie - wystarczy rozrysować sobie siatkę pokoju, zaznaczyć pająka i muche, a następnie połączyć kropeczki prostym odcinkiem tak żeby pająk przeszedł kawałek po swojej ścianie, kawałek po suficie, kawałek po bocznej ścianie i kawałek po ścianie muchy }\)

[Aura]

No właśnie, tylko ta siatka musi być odpowiednio narysowana a nie jaka bądź, bo z takiej standardowej to wychodzi 42m albo 43 z górką(pająk przechodziłby wtedy przez 3 sciany)

A tak przy okazji(dla utrwalenia metody ), zadanie z ubiegłorocznych GMiL, kategoria liceum

Mrówka na graniastosłupie
Na stole ustawiono graniastosłup prosty o wysokości h=16cm, którego podstawą jest sześciokąt foremny o boku a=12cm. Mrówka znajduje się na stole przy wierzchołku A i zamierza najkrótszą drogą po dostępnej powierzchni graniastosłupa dotrzeć do punktu B(i tu powienien być rysunek, ale ja nim nie dysponuje, więc opisze jak to wyglada. Graniastosłup stoi na sześciokatnej podstawie, a odcinek AB jest jego najdłuzszą przekatną.).
I pytanie: Jaka jest, w centymetrach, dokładna długość tej drogi?

[kaarol]

W sumie mrowka moze iść do gory po przekątnej i potem w dół jednk ta droga wyniesie 56 cm. Najprościej mrowka moze iść po krawędziach dolnych i droga wyniesie 36 cm. TYlko teraz odcinek AB jest najdłuższa przekatna czego graniastosłupa czy podstawy bo jak podstawy to wyjdzie to 36cm a ja graniastosłupa to: wystarczy ze pojdzie po wysokości potem przejdzie po najdłuższej przekątnej podstawy i droga zajmie jej 40cm.przynajmniej tak mi sie wydaje no ale moze sąjakies inne sposoby. Przydałby się ten rysunek bo cos to sie za łatwe wydaje. Haha tylko własnie jak jest postawiony ten graniastosłup przeciez moze stykac się z stołem sciana boczna a nie podstawa. Wtedy jest inaczej.

[dagoth]

Hmm. Nie wiem czy się gdzieś nie walnąłem w obliczeniach, ale mi wyszło że najkrótsza droga pająka do muchy wynosi \(\displaystyle{ \sqrt{37^{2}+17^{2}}\approx40,72
Jak nie wierzycie to sami sprawdźcie - wystarczy rozrysować sobie siatkę pokoju, zaznaczyć pająka i muche, a następnie połączyć kropeczki prostym odcinkiem tak żeby pająk przeszedł kawałek po swojej ścianie, kawałek po suficie, kawałek po bocznej ścianie i kawałek po ścianie muchy}\)

gratz...choć to nie jest najkrótsza droga jaką przebędzie pająk(są 2 rozwiązania spełniające warunki zadania)....

Mrówka na graniastosłupie
Na stole ustawiono graniastosłup prosty o wysokości h=16cm, którego podstawą jest sześciokąt foremny o boku a=12cm. Mrówka znajduje się na stole przy wierzchołku A i zamierza najkrótszą drogą po dostępnej powierzchni graniastosłupa dotrzeć do punktu B(i tu powienien być rysunek, ale ja nim nie dysponuje, więc opisze jak to wyglada. Graniastosłup stoi na sześciokatnej podstawie, a odcinek AB jest jego najdłuzszą przekatną.).
I pytanie: Jaka jest, w centymetrach, dokładna długość tej drogi?

no mi wyszło w przybliżeniu ~39,4cm...
edit: mam jeszcze krótszą ~38,69cm...

[Aura]

@kaarol

Graniastosłup stoi na sześciokatnej podstawie, a odcinek AB jest jego najdłuzszą przekatną

...
@dagoth
hm, ja nie mam takiej odpowiedzi na 100%, powiem tylko tyle, że mi tak samo wyszło

[kaarol]

przepraszam pisałem to wieczorem . to w takim razie mi wychodzi 40 chyba najkrocej jak sie nie walnołem. ale chyba jednak cos zle policzyłem bo wasze wyniki wydaja mi sie słuszniejsze.

[DEXiu]

Hehe. dagoth tak matematycznie rzecz ujmując to rozwiązań jest nieskończenie wiele, bo jeśli istnieje droga krótsza od 42 m to istnieje też nieskończenie wiele dróg dłuższych od tamtej a krótszych od 42 m

[dagoth]

Hehe. dagoth tak matematycznie rzecz ujmując to rozwiązań jest nieskończenie wiele, bo jeśli istnieje droga krótsza od 42 m to istnieje też nieskończenie wiele dróg dłuższych od tamtej a krótszych od 42 m

zgadza sie....chodzilo mi o 2 drogi laczace 2 punkty po lini prostej....

[Nefertiti]

Mnie wyszła, tak jak kaarolowi droga równa \(\displaystyle{ \sqrt{32^2+24^2}=40m}\), ale metody DEXiu nie pojmuję

[dagoth]

i to jest wlasnie najkrótsza droda-40m
x-pajak
. -mucha

Kod: Zaznacz cały

         +---------------------------+
         |                           |
       12|                           |
         |                           |  12
         +---------------------------+-----+
         |                           |     |
       12|        sufit              |x    |
         |                           |     |
         +---------------------------+-----+
         |                           |
         |                           |
     12  |                           |
   +-----+---------------------------+
   |     |                           |
 12|    .|12       podloga           |
   |     |                           |  
   +-----+---------------------------+
                      30

a dexiu tez zrobil ok bo jest mniej niz 42m czyli 40,72m

Kod: Zaznacz cały

         +---------------------------+
         |                           |
       12|                           |
         |                           |  12
         +---------------------------+-----+
         |                           |     |
       12|        sufit              |x    |
     12  |                           |     |
   +-----+---------------------------+-----+
   |     |                           |
 12|     |                           |
   |  .  |                           |
   +-----+---------------------------+
         |                           |
       12|       podloga             |
         |                           |  
         +---------------------------+
                      30

[DEXiu]

Hehe. Fakt. Tej opcji w której wyszło 40 m nie sprawdzałem już bo uznałem że moja będzie najkrótsza. Rzeczywiście macie rację. Moje niedopatrzenie