Matematyka.pl

Udowodnij dla każdego trójkąta równoramiennego, jeżeli zaznaczymy punkt w jego wnętrzu i poprowadzimy od niego odcinki do boków trójkąta pod kątem prostym, to suma ich długości będzie równa \(\displaystyle{ d_{1}+d_{2}+d_{3}=\frac{a\sqrt{3}}{2}}\).

Rysunek:

Proponuję zapisac pole duzego trójkąta równobocznego(\(\displaystyle{ \frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}}\)) jako sumę pól tych mniejszych o wysokościach d_1, d_2 i d_3. Potem pozostaje tylko uprościć to równanie, co da juz teze.

Połącz sobie owy punkt z wierzchołkami trójkąta. Otrzymasz trzy trójkąty, których suma pól równa się polu wyjściowego trójkąta.

\(\displaystyle{ \frac{1}{2}ah=\frac{1}{2}ad_1+\frac{1}{2}ad_2+\frac{1}{2}ad_3}\)
\(\displaystyle{ h=\frac{a\sqrt{3}}{2}=d_1+d_2+d_3}\), co było do wykazania.

Ups, widzę, że się spóźniłem troszkę:)


Pozdrawiam,
--
Tomek Rużycki