9 wzorów na pole trójkąta

Dział całkowicie poświęcony zagadnieniom związanymi z trójkątami. Temu co się w nie wpisuje i na nich opisuje - też...
kosa0404

9 wzorów na pole trójkąta

Post autor: kosa0404 » 12 maja 2004, o 22:47

Zna może ktoś 9 wzorów na pole trójkąta ?
Prosze o odpowiedz !

ktosia
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 26
Rejestracja: 19 maja 2004, o 16:20
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: z zimowej stolicy ;)

9 wzorów na pole trójkąta

Post autor: ktosia » 19 maja 2004, o 16:37

Pole trójkąta równobocznego: \(P=\frac{a^2\cdot \sqrt{3}}{4}\)

Lena

9 wzorów na pole trójkąta

Post autor: Lena » 1 cze 2004, o 12:10

Wszystkie oznaczenia są wspólne: a,b,c - długości boków trójkąta, \(\sin{\alpha}\) - sinus kąta leżącego naprzeciw boku a, \(\sin{\beta}\) - sinus kąta leżącego naprzeciw boku b, \(\sin{\gamma}\) - sinus kąta leżącego naprzeciw boku c, r - promień okręgu wpisanego w trójkąt, R- promień okręgu opisanego na trójkącie, 1) \(P=\frac{1}{2}\cdot b\cdot c\cdot \sin{\alpha}\) \(P=\frac{1}{2}\cdot a\cdot c\cdot \sin{\beta}\) \(P=\frac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot \sin{\gamma}\) 2) \(P=\frac{1}{2}\cdot a\cdot h\) 3) \(P=p\cdot r\), gdzie \(p=\frac{a+b+c}{2}\) 4) \(P=\frac{a\cdot b\cdot c}{4\cdot R}\) 5) \(P=2\cdot R^2 \sin{\alpha}\cdot \sin{\beta}\cdot \sin{\gamma}\) 6) Wzór Herona: \(P=\sqrt{p\cdot (p-a)\cdot (p-b)\cdot (p-c)}\) 7) W trójkącie równobocznym: \(P=\frac{a^2\cdot \sqrt{3}}{4}\) 8) W geometrii analitycznej: \(A=(x_a;y_a)\), \(B=(x_b;y_b)\), \(C=(x_c;y_c)\) - wierzchołki trójkąta \(P=\frac{1}{2}\cdot | d e t (\vec{AB};\vec{AC})|\) gdzie \(| d e t (\vec{AB};\vec{AC})|\) to wartość bezwzględna wyznacznika wektorów. W tablicach matematycznych są tylko takie wzory. To jest 8, a co z dziewiątym ?

Awatar użytkownika
kinia7
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 654
Rejestracja: 28 lis 2012, o 11:58
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Wrocław

9 wzorów na pole trójkąta

Post autor: kinia7 » 27 cze 2016, o 20:44

9)
trójkąt prostokątny:

\(P=r(r+2R)\)

mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5843
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków

9 wzorów na pole trójkąta

Post autor: mol_ksiazkowy » 28 cze 2016, o 01:17

11) \(S = \frac{a \rho_b \rho_c}{\rho_b + \rho_c}\)

Longines
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 103
Rejestracja: 11 cze 2009, o 22:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Siedlce

9 wzorów na pole trójkąta

Post autor: Longines » 30 cze 2016, o 20:43

W swoich notatkach znalazłem jeszcze inny nie wymieniony wzór na pole trójkąta prostokątnego. Nie używam Latexa więc nie przedstawię go w formie wzoru, ale podam potrzebne dane to pewnie ktoś się domyśli i przedstawi w ładnej formie graficznej.
Dane:
Wartość przeciwprostokątnej
wartość wysokości na przeciwprostokątną.

SlotaWoj
Moderator
Moderator
Posty: 4211
Rejestracja: 25 maja 2012, o 21:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków PL

9 wzorów na pole trójkąta

Post autor: SlotaWoj » 1 lip 2016, o 03:34

mol_ksiazkowy pisze:11) \(S=\frac{a\rho_b\rho_c}{\rho_b+\rho_c}\)
Z tego wynika, że wysokość trójkąta jest średnią harmoniczną z czego? Co to jest \(\rho_b\) i \(\rho_c\) ?

bakala12
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3044
Rejestracja: 25 mar 2010, o 15:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gołąb

9 wzorów na pole trójkąta

Post autor: bakala12 » 1 lip 2016, o 07:47

Promienie okręgów dopisanych zdaje się.

Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7144
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna

9 wzorów na pole trójkąta

Post autor: kerajs » 1 lip 2016, o 07:57

Z bardziej użytkowych :

\(P = \frac{1}{ \sqrt{\left( \frac{1}{h _a } + \frac{1}{h _b }+ \frac{1}{h _c }\right) \left( \frac{1}{h _a } + \frac{1}{h _b }- \frac{1}{h _c }\right) \left( \frac{1}{h _a } - \frac{1}{h _b }+ \frac{1}{h _c }\right) \left( -\frac{1}{h _a } + \frac{1}{h _b }+ \frac{1}{h _c }\right) } }\)

\(P= \frac{1}{2} \frac{a^2}{\ctg B +\ctg C} = \frac{1}{2}h^2_a \left( \ctg B +\ctg C\right)\)

mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5843
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków

9 wzorów na pole trójkąta

Post autor: mol_ksiazkowy » 1 lip 2016, o 08:37

oraz :
\(S= \frac{1}{4}(a^2+b^2+c^2) \tg(\omega)\) gdzie \(\omega\) jest kątem Brocarda.
\(\ctg(\omega) = \ctg(\alpha) + \ctg(\beta)+ \ctg(\gamma)\)

zaś z sinusem: \(\sin(\omega) = \frac{2S}{\sqrt{a^2b^2 + b^2c^2+ a^2c^2 }}\)
Promienie okręgów dopisanych
Mamy też
\(\begin{cases} S= \rho_a(p-a) \\S=\rho_b(p-b) \\S=\rho_c(p-c) \end{cases}\)

\(S=\sqrt{r \rho_a \rho_b \rho_c }\)

był też \(\sqrt{S} = \sqrt{S_1} + \sqrt{S_2} + \sqrt{S_3}\)
czym są \(S_1, S_2, S_3\) ?

Awatar użytkownika
kinia7
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 654
Rejestracja: 28 lis 2012, o 11:58
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Wrocław

9 wzorów na pole trójkąta

Post autor: kinia7 » 1 lip 2016, o 13:21

10)
\(P=\frac{h_a^2}{\sqrt{\left((\frac{h_a}{h_c}+\frac{h_a}{h_b})^2-1\right)\left(1-(\frac{h_a}{h_c}-\frac{h_a}{h_b})^2\right)}}\)

Awatar użytkownika
Santiago A
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 248
Rejestracja: 22 sty 2016, o 20:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Zaragoza

9 wzorów na pole trójkąta

Post autor: Santiago A » 2 lip 2016, o 18:08

Sprawdź dwie prace:

Baker, M. "A Collection of Formulæ for the Area of a Plane Triangle." Ann. Math. 1, 134-138, 1884,
Beyer, W. H. (Ed.). CRC Standard Mathematical Tables, 28th ed. Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 123-124, 1987.

Znajdziesz tam łącznie ponad sto różnych wzorów pozwalających wyznaczyć pole powierzchni trójkąta płaskiego.

Brombal
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 225
Rejestracja: 1 gru 2015, o 21:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

9 wzorów na pole trójkąta

Post autor: Brombal » 3 lip 2016, o 10:07

Generalnie można poprzekształcać co nieco:)
\(P= \frac{ S_{g} ^3 }{4R}\)

\(P= \frac{3rS _{a} }{2}\)

mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5843
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków

9 wzorów na pole trójkąta

Post autor: mol_ksiazkowy » 23 mar 2019, o 13:50

Conway

\(4S^2 = S_{AB} + S_{BC}+ S_{CA} = \frac{1}{2}(a^2S_a+ b^2S_B+c^2S_C)\)

\(S_A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2}\) itd .
\(S_{BC} = S_BS_C\) itd

ODPOWIEDZ