Matematyka.pl

Obliczyć następujące równanie metodą operatorową i klasyczną
\(\displaystyle{ y"-6y'=cos3t}\) przy warunkach:\(\displaystyle{ y(0)=1, y'(0)=0}\)

Metoda klasyczna:
\(\displaystyle{ r^{2}+6=0}\)
\(\displaystyle{ \alpha=0, \beta=\frac{2\sqrt{6}}{2}}\)
\(\displaystyle{ y=(C _{1}cos\sqrt{6}t+C _{2}sin\sqrt{6}t)e^{0*t}}\)
\(\displaystyle{ y=(C _{1}cos \sqrt{6}t+C _{2}sin \sqrt{6}t)}\)
Mam nadzieję że żadnego błędu nie popełniłem. Wydaje mi się że pownienem coś z tym jeszcze zrobić ale nie wiem co...

\(\displaystyle{ y=Acos3t+Bsin3t}\)
\(\displaystyle{ y'=-3Asin3t+3Bcos3t}\)
\(\displaystyle{ y''=-9Acos3t-9Bsin3t}\)
No i nie wiem jak to się do końca sie podstawia... Przy wszystkich \(\displaystyle{ sin3t}\) powinno być 0??

Metoda operatorowa:
\(\displaystyle{ L[y'']+6L[y']=L[cos3t]}\)
Korzystam z takich wzorów: \(\displaystyle{ y'=sL[f(t)]-f(0^{+})}\) i \(\displaystyle{ y"=s^{2}L[f(t)]-sf(0^{+})-f'(0^{+})}\)
Mam nadzieję że są dobre.
\(\displaystyle{ s^{2}L[f(t)]-s*1-0+6sL[f(t)]-6= \frac{s}{s^{2}+9}}\)
\(\displaystyle{ s^{2}L[f(t)]+6sL[f(t)]= \frac{s}{s^{2}+9}+s+6}\)
No i teraz nie wiem co dalej... :/

Za pomoc z góry dzięki

intel86 pisze:Mam nadzieję że żadnego błędu nie popełniłem.

No to Cię zmartwię, bo źle zapisałeś równanie charakterystyczne już na samym początku.

Zauważyłem no i poprawiłem. Tylko co dalej?

intel86 pisze:Tylko co dalej?

Może nieco konkretniej? Z czym jest problem?

W metodzie klasycznej jak mam porównać y, y' i y''. W operatorowej nie wiem co dalej zrobić z równaniem...

Przez podstawienie p=y' sprowadzisz to równanie do r. I rzędu i nie będziesz się musiał tak męczyć.

intel86 pisze:W operatorowej nie wiem co dalej zrobić z równaniem...

Musisz doprowadzić równanie do postaci:
\(\displaystyle{ \mathcal{L} \{ y \} = g(s)}\)
gdzie g jest pewną funkcją, a następnie obłożyć obustronnie równanie odwrotną transformatą Laplace'a.