Matematyka.pl

Znajdź asymptoty funkcji:
\(\displaystyle{ f(x) = (x+2)e^\frac{x+1}{x-1}}\)

Może mi ktoś pomóc ? Nie wiem jak je odnaleźć (teorię znam, lecz obliczyć już nie daję rady)

1) pionowe:

\(\displaystyle{ \lim_ {x \to 1^+} (x+2)e^{ \frac{x+1}{x-1}}= ft[3 e^{ \frac{2}{0^+} \right] =3 =\infty \\ \\ \lim_ {x \to 1^-} (x+2)e^{ \frac{x+1}{x-1}}= ft[3 e^{ \frac{2}{0^-} \right] =3 0=0}\)

Asymptota pionowa prawostronna x=1.


2) pozioma:

\(\displaystyle{ \lim_ {x \to } (x+2)e^{ \frac{x+1}{x-1}}= ft[\infty e \right]=\infty \\ \lim_ {x \to -\infty} (x+2)e^{ \frac{x+1}{x-1}}= ft[-\infty e \right]=-\infty}\)

Brak asymptoty poziomej.


3) ukosna - y=ax+b:

\(\displaystyle{ \lim_ {x \to } \frac{ (x+2)e^{ \frac{x+1}{x-1}}}{x} =\lim_ {x \to } \frac { (1+ \frac{2}{x} )e^{ \frac{x+1}{x-1}}}{1}=1 e=e \\ \lim_ {x \to -\infty} \frac{ (x+2)e^{ \frac{x+1}{x-1}}}{x} =\lim_ {x \to -\infty} \frac{ (1+ \frac{2}{x} )e^{ \frac{x+1}{x-1}}}{1}=1 e=e \\ \\ a=e \\ \\ b=\lim_ {x \to }( (x+2)e^{ \frac{x+1}{x-1}}-ex)=\lim_ {x \to }(x(e^{ \frac{x+1}{x-1}}-e)+2e^{ \frac{x+1}{x-1}})=2e+2e=4e \\}\)

Asymptota ukośna y=ex+4e.

wb, przecież asymptoty ukośne liczymy w dwóch krokach: najpierw granice \(\displaystyle{ \lim_{x \to } \frac{f(x)}{x} = a}\) a jeśli takie \(\displaystyle{ a}\) istnieje to dodatkowo \(\displaystyle{ \lim_{x \to } f(x) -ax = b}\). Asymptotą ukośną jest wtedy \(\displaystyle{ y=ax+b}\). W tym przypadku takie asymptoty instnieją (przyjąłeś błędne założenie, że \(\displaystyle{ a=0}\) - czyli że ukośne są poziome).

Ależ ja nie zakładałem a=0. Sprawdziłem czy jest pozioma (okazuje się, że nie) a następnie czy jest ukośna i tu masz rację - jest.

hmm... w zasadzie to nie ma sensu sprawdzanie poziomej - jest ona tez ukosna (tylko jej parametr a=0). Dwoch roznych asymptot - poziomej i ukosnej, nie moze byc.