Wielkimi krokami zbliża się Święto Liczby Pi a razem ze świetem kolejna edycja konkursu EPIGRAMAT. Już 31 stycznia 2008 roku ukażą się zadania pierwszego etapu.
Gorąco zachęcamy do wzięcia udziału w konkursie. Wejdź na
zaloguj się, rozwiąż zadania, baw sie dobrze i wygraj ciekawe nagrody (jeszce nie wiadomo jakie)
Konkurs składać się będzie z dwóch etapów internetowych oraz finału, który odbędzie się w Instytucie Matematyki Uniwersytetu Śląskiego podczas Świeta Pi.
1)
Mamy w domu 13 zegarków. Dla każdego z nich prawdopodobieństwo zepsucia wynosi 1/5. Jakie jest prawdopodobieństwo, że zepsuje się więcej niż 10 zegarków?
2)
Czy istnieją takie liczby niewymierne a i b, że \(\displaystyle{ a^b}\) jest liczbą wymierną?
3)
Pokaż, że dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n\geq 1}\) liczba \(\displaystyle{ a_n = (2 + \sqrt{3})^n + (2 - \sqrt{3})^n}\) jest liczbą naturalną
4)
Ciąg \(\displaystyle{ (a_n)_{n\in \mathbb{N}}\) dąży do nieskończoności. Do czego dąży ciąg \(\displaystyle{ b_n =\sqrt{a_n^2 + 4a_n + 3} - a_n}\)
5)
Załóżmy, że \(\displaystyle{ n \mathbb{N}}\) oraz \(\displaystyle{ x_1 , . . . , x_n}\) są takimi liczbami rzeczywistymi, że \(\displaystyle{ |x_1 + . . . + x_n | = 1}\)
Wykaż, że istnieje permutacja \(\displaystyle{ (y_1 , . . . , y_n)}\) zbioru \(\displaystyle{ \{x_1 , . . . , x_n \}}\), dla której zachodzi nierówność \(\displaystyle{ |y_1 + 2y_2 + . . . + ny_n |\geq \frac{n+1}{2}}\)
6)
Mamy trzy koszyki. W pierwszym znajduje się 2000 śliwek, w drugim 2008 śliwek, w trzecim 3000 śliwek. Z którychś dwóch koszyków wyjmujemy po jednej śliwce i wrzucamy do pozostałego. Czy możemy postępując dalej w ten sposób umieścić wszystkie śliwki w jednym koszyku?
7)
Funkcja \(\displaystyle{ f :\mathbb{R} \to \mathbb{R}}\) spełnia warunek \(\displaystyle{ f (x + 1)f (x) + f (x + 1) + 1 = 0}\) dla \(\displaystyle{ x R}\).
Wykaż, że funkcja f nie jest ciągła.
8)
Dane są trzy okręgi, dwa o promieniu R i jeden o promieniu \(\displaystyle{ r}\)
No właśnie chciałem wziąć udział, a tu patrze kombinatoryka ciągi, funkcje ciągłe dwumian Newtona, permutacje. Chyba ten konkurs tylko teoretycznie jest dla gimnazjalistów.
poprawka, tylko dla 3klasy Liceum bo kombinatoryka jest ten konkurs do rozwiazania, bo polowa tych zadan jest w programie 3 klasy, dla mnie(2 L.O.) sa tlyko zadania:2,3,7,9,10
w koncu dopiero 1 semestr 2 klasy, wiec okregow,ciagow jeszcze nie bylo:(
Nie zgadzam się z Wami. Przecież to jest konkurs, a nie matura, więc musi wymagać ponadprzeciętnej wiedzy. Argumentacja ,,konkurs jest dla trzeciej klasy, bo są zadania z kombinatoryki i analizy" jest bez sensu. W takim razie dla której klasy jest Śląski Konkurs Matematyczny, na którym często potrzebna jest wiedza o kongruencjach, których w ogóle nie ma w programie?
arpa007 pisze:
w koncu dopiero 1 semestr 2 klasy, wiec okregow,ciagow jeszcze nie bylo:(
No właśnie kongruencji nie ma w programie podobnie jak zasady szufladkowej Dirichleta i innych pomocnych metod, ale występują one np. na OMG. Jednak to jest olimpiada i treści merytoryczne mogą być rozszerzone. Tylko moim zdaniem w konkursie przeznaczonym również dla gimnazjalistów nie powinno być typowo licealnych tematów: ciągów, permutacji czy niektórych własności funkcji. Metody, które napisałem na początku służą do prostszego rozwiązywania zadań z innych działów np. podzielności, teorii liczb itp. Przecież można wymyślić takie zadania, które dałoby się rozwiązać metodami bardziej znanymi uczniom gimnazjów, a przy tym o poziomie trudności sprawiającym problemy nawet uzdolnionym licealistom. Wtedy rywalizacja jest uczciwa. A tak to można startować, ale szanse diametralnie się zmniejszają.
Mhm, jeśliby się uprzeć, to mozna powiedzieć, że kongruencji w ogóle nie potrzeba się uczyć, zamiast tego wystarczają komentarze przy wykazywaniu podzielności. Taa, już widzę przeciętnych maturzystów, którzy siadają i rozwiązują takie zadanka Wg mnie (bo z tego co zrozumiałem ten konkurs jest dla gimnazjów) jest on chyba po to aby trochę zmusić gimnazjalistów do poznania pewnej podstawowej wiedzy z zakresu np. kombinatoryki czy też granic. Jak tak patrzę, to sie zgodzę z Sylwkiem, tylko 5 i 7 wyglądają na nieoczywiste.
emator1, ale co to znaczy, że rywalizacja jest ,,uczciwa"? Nawet gdyby wszystkie zadania były z działu, który jest w gimnazjum, to licealiści i tak mieliby przewagę, bo w tzw. ,,okresie dojrzewania" zdolności umysłowe się zwiększają, więc gimnazjalista, który byłby w stanie rywalizować z licealistami musiałby być zdecydowanie bardziej uzdolniony od nich. No, ale co wtedy stałoby na przeszkodzie, żeby błyskawicznie poszerzył swoją wiedzę? Przedział wieku w \(\displaystyle{ e \pi \mathrm{gramacie}}\) jest bardzo duży, więc nie można go dostosować do gimnazjalistów, bo licealiści się by się zanudzili.
Nie no sorry słowo "uczciwa" było tu troche nie na miejscu tylko jakoś nie potrafiłem, znaleźć innego.
A poza tym większość zadań przynajmniej z pierwszych etapów OM w niektórych latach dała się rozwiązać bardzo elementarnymi metodami, a nudne bynajmniej nie były
