Matematyka.pl

Przez środek boku trójkąta równobocznego poprowadzoną prostą tworzącą z tym bokiem kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) i dzieląca pole tego trójkąta w stosunku 1:7. Ile wynosi kąt \(\displaystyle{ \alpha}\)?

Geometria analityczna to nie jest odpowiedni dział dla tego zadania.
Szemek

Niech D oznacza środek boku CD i prosta przecina bok AC w punkcie E oraz \(\displaystyle{ | EDC|=\alpha.}\)
W \(\displaystyle{ \Delta _{EDC}}\) znam wszystkie kąty i wiem, że \(\displaystyle{ CD=\frac{a}{2}.}\)
Ztwierdzenia sinusów
\(\displaystyle{ \frac {EC}{sin\alpha}=\frac{a}{2sin(60 ^{\circ}+\alpha)},\\EC=\frac{asin\alpha}{2sin(60 ^{\circ}+\alpha)}.\\P _{ \Delta _{EDC}}=\frac{1}{2}CD ECsin60 ^{\circ}=\frac{1}{2} \frac{a}2} \frac{asin\alpha}{2sin(60 ^{\circ}+\alpha)} \frac{ \sqrt{3}}{2} =\frac{a ^{2} \sqrt{3} }{16} \frac{sin\alpha}{sin(60 ^{\circ}+\alpha)}.\\P _{\Delta _{ABC} }=\frac {a ^{2} \sqrt{3}}{4}.}\)
Z warunków zadania
\(\displaystyle{ 7 P _{ \Delta _{EDC}}=P _{\Delta _{ABC} }.}\)
Do powyższego podstawiam wyznaczone wartości, rozwiązuję równanie trygonometryczne i wyznaczan (albo nie wyznaczam) najprawdopodobniej sinus szukanego kąta (jest to kąt ostry).

Ok, a gdybyśmy chcieli krótko, elegancko i dodatkowo z odpowiedzią , to można na przykład tak:

Oznaczmy nasz trójkąt przez \(\displaystyle{ A,B,C}\), środek boku \(\displaystyle{ AB}\) przez \(\displaystyle{ D}\), środek boku \(\displaystyle{ BC}\) przez \(\displaystyle{ E}\). Niech też \(\displaystyle{ O}\) będzie takim punktem odcinka \(\displaystyle{ BC}\), że \(\displaystyle{ \sphericalangle (AB, DO) = }\).

Mamy:
\(\displaystyle{ 8P_{DOB}= P_{ABC}= 2P_{ABE}= 4P_{DBE}}\)
skąd
\(\displaystyle{ 2P_{DOB}= P_{DBE}}\)
To zaś oznacza, że \(\displaystyle{ DO}\) musi być środkową trójkąta (rówobocznego) \(\displaystyle{ DBE}\), stąd:\(\displaystyle{ \alpha = 30^o}\).

Pozdrawiam.
Qń.

Faktycznie. Nie mam takiego "pomyślunku". Gwoli ścisłości, chyba się Koledze "liternęło" i ten kąt. to \(\displaystyle{ \sphericalangle (AB,DO),}\) albo inaczej \(\displaystyle{ \sphericalangle ODB.}\)
Także pozdrawiam