Matematyka.pl

Podstawą trójkąta równobocznego jest średnica koła o promieniu R. Oblicz stosunek pola części trójkąta leżącej na zewnątrz koła do pola części trójkąta leżącej wewnątrz koła. Siedzę nad tym od ponad godziny...

To co było tu wcześniej to nieprzydatne fakty:)



Powstała w środku figura to dwa trójkąty równoboczne o boku R i 1/6 okręgu o promieniu R. Poradzisz sobie dalej.

Pozdrawiam,
--
Tomek Rużycki

Ja to widzę tak. Nalezy policzyć iloraz róznicy pola trójkata i połowy pola koła przez połowę pola koła. W tym ułamku mozna co nieco poredukować i w ostateczności stosunek ten wynosi \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{3}-\frac{\pi}{2}}{\sqrt{3}}}\).
Aha, i Tomasz Rużycki, pole trójkata to chyba \(\displaystyle{ s=\frac{4R^2\sqrt{3}}{4}}\)

Moim zdaniem wynik: \(\displaystyle{ \frac{3\sqrt{3}-\pi}{3\sqrt{3}+\pi}}\).

Aura Twój stosunek jest ujemny!
ap na początku też miałam taki wynik, ale po ponownym przeliczeniu \(\displaystyle{ \frac{\pi}{3\sqrt{3}+\pi}}\), ale dzisiaj nic nie gwaratnuje, bo wielce prawdopodobne, że bredzę.

A rzeczywiście, \(\displaystyle{ \frac{3\sqrt{3}-\pi}{3\sqrt{3}+\pi}}\). To nie takie banalne, jak z poczatku mi sie wydawało . Zapomnialam uwzględnić te dwa mniejsze odcinki koła, które "wystawały" poza obszar pola trojkata.

Właśnie mi się wydaje, że ten wynik nie uwzględnia tych dwóch kawałków wystających.

Spójrzmy na to tak:
Pole całego trójkąta to pole czterech szóstych sześciokąta foremnego wpisanego w koło, natomiast pole części wystającej to pole jednej szóstej tego sześciokąta minus jedna szósta różnicy pola koła i pola całego sześciokąta.

Dosłownie nie wytrzymam, ile jeszcze kobminacji tego zadania się pojawi? Może ktoś się pofatyguje i wyliczy ten wynik, bo tutaj o to się rozchodzi. Więc piszę skąd mi się to wzięło.

1) Pole wewnątrz (na to pole składają się dwa trójkąty równoboczne o boku R i 1/6 pola okręgu)
\(\displaystyle{ P_{1}=2\cdot\frac{R^2\sqrt{3}}{4}+\frac{\pi R^2}{6}}\)

2) Pole zewnętrzne (dwa skrawki + trójkąt bez tego skrawka, czyli ostatecznie trójkąt+skrawek)
\(\displaystyle{ P_{2}=\frac{R^2\sqrt{3}}{4}+\(\frac{\pi R^2}{6}-\frac{R^2\sqrt{3}}{4}\)=\frac{\pi R^2}{6}}\)

Iloraz:
\(\displaystyle{ \frac{P_{2}}{P_{1}}=\frac{\frac{\pi R^2}{6}}{\frac{R^2\sqrt{3}}{2}+\frac{\pi R^2}{6}}=\frac{\pi}{3\sqrt{3}+\pi}}\)

ervin pisze:[...]pola części trójkąta leżącej na zewnątrz koła do pola części trójkąta leżącej wewnątrz koła[...]

Niepotrzebnie tam dokładasz kawałki koła leżące poza trójkątem.

Mnie tam wyszło : \(\displaystyle{ \frac{3\sqrt{3}-\pi}{3\sqrt{3}+\pi}}\)

No i o to mi chodziło, czyli pierwsza myśl najlepsza, tak na początku liczyłam, ale później sobie coś ubzdurałam z tymi kawałkami.