Matematyka.pl

1) Zbadaj zbieżność

\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ } \frac{2^{n}-(-1)^{n}\sqrt{n}}{n3^{n}-n^2} (x-1)^{n}}\)

2)Zbadaj zbieżność i znajdź granicę

\(\displaystyle{ x_{n+1}=\frac{1}{2}(x_n+\frac{1}{x_n})}\)

Prosiłbym o w miarę szczegółowe rozwiązanie.

Powinnaś dokładniej opisywać treść zadania:
1) czy to ma być w zależności od stałej x?
2)ile wynosi pierwszy wyraz naszego rekurencyjnego ciągu?

To jest całość polecenia. I jest ono dobrze przepisane, zapewniam.

I powinieneś jeśli można

OK..
Pierwsze Ci pomogę gdy zrobisz pierwszy krok

i sprobujesz obliczyc granicę

\(\displaystyle{ \lim_{n \to } ft| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|}\)


drugie robisz tak

zalóżmy ze ciąg \(\displaystyle{ x_n}\) jest zbieżny i ma grance g

wtedy
\(\displaystyle{ g= \frac{g^2 +1}{2*g}}\)

wynika stąd, że jeśliciąg jest zbieżny i mam granicę g to g = 1 lub g = -1

sprawdzmy czy ciąh \(\displaystyle{ x_n}\) nie jest przypadkiem monotoniczny..

latwo sprawdzic ze jakiekolwiek byloby \(\displaystyle{ a_1}\) ,wartosc bezwzględna następnych wyrazów \(\displaystyle{ a_n}\) jest nie mniejsza od 1

funkcja
\(\displaystyle{ y= \frac{x^2 +1}{2*x}}\) ma lokalne minima w -1 i 1


\(\displaystyle{ x_{n+1} - {x_n} = \frac{{x_n}^2 +1}{2*{x_n}} -{x_n} = \frac{{x_n}^2 -2*{x_n}^2 + 1}{2*{x_n}} = \frac{1- (x_n)^2}{2*x_n}}\)

widac, ze dla
\(\displaystyle{ x_n (- ,-1)}\) następny wyraz jest większy
\(\displaystyle{ x_n (-1 ,0)}\) następny wyraz jest mniejszy , ale wiemy też ze ujemny więc mniejszy od 1
\(\displaystyle{ x_n ( 0,1)}\) następny wyraz jest większy, ale tez wiekszy od 1
\(\displaystyle{ x_n ( 1, )}\) następny wyraz jest mniejszy
\(\displaystyle{ x_n \{ -1,1 \}}\) następny wyraz jest taki sam wiec ciąg jest stały

co z tego wynika ?

jedynie \(\displaystyle{ x_1}\) moze być w przedziale \(\displaystyle{ x_n (- 1 , 1)}\)
poza tym, dla \(\displaystyle{ x_n}\) ujemnych ciąg jest rosnący, o wyrazach ujemnych a wiec ograniczony od góry ,
dla \(\displaystyle{ x_n}\) dodatnich jest malejący, dodatni i ograniczony od dolu

a więc dla \(\displaystyle{ x_1 0}\) ciag ma granice 1

Wielkie dzięki z tym drugim, w pierwszym męczyłem się strasznie robiąc ratio test (czyli właśnie to z granicą - nie wiem jak po polsku to kryterium się nazywa, studiuję w jęz.angielskim) i nic mi sensownego nie wyszło. Spróbuję po jakiejś przerwie jeszcze raz, żeby nie chcący nie popełnić jakiegoś błędu i na świeżo do tego podejść.

sensownie wychodzi bezproblemu

zapisz osobno iloraz liczikow i iloraz mianownikow


podziel licznik i mianownik ilorazu liczników przez \(\displaystyle{ 2^n}\) a ilorazu mianowników przez \(\displaystyle{ 3^n}\) i skorzystaj z faktu ze dla podstawu a>1 funkcja wykladnicza rosnie szybciej niz jakakolwiek funkcja potegowa czyli ze

\(\displaystyle{ \lim_{n \to } \frac{n^k}{a^n} = 0}\)

A nie lepiej w drugim pójść sobie elementarną ścieżką i pokazać, że:
\(\displaystyle{ \frac{x_{n} + \frac{1}{x_{n}}}{2} q \sqrt{x_{n} \frac{1}{x_{n}}} = 1}\), czyli \(\displaystyle{ \forall n \mathbb{N} x_{n+1} q 1}\).
Zbadajmy monotoniczność tego ciągu z definicji:
\(\displaystyle{ x_{n+1}-x_{n} = \frac{x_{n}^{2} + 1}{2x_{n}} - x_{n} = \frac{1-x_{n}^{2}}{2x_{n}} = \frac{(1-x_{n})(1+x_{n})}{2x_{n}}}\)
Stąd z pierwszego i z tego, że każdy wyraz tego ciągu jest większy od zero (pozwoliłem sobie takiej bzdurki nie wykazywać) otrzymujemy, że ciąg jest malejący od n=1, bo od tego momentu zachodzi ograniczenie udowodnione powyżej. Stąd pierwszy wyraz nas nie interesuje, więc nie był podany.