Matematyka.pl

TREŚĆ:

Znaleźć asymptoty:

Mam problem z dwoma

\(\displaystyle{ y=\ln \frac{x-1}{x+1}}\)
\(\displaystyle{ y=\arctan \frac{x-1}{x+1}}\)


Proszę o rozwiązanie i cenne wskazówki do tego typu zadań. Z góry dziękuję za pomoc oczywiście punkciki.

przykład 1)
\(\displaystyle{ \frac{x-1}{x+1} > 0}\)
\(\displaystyle{ (x-1)(x+1)>0}\)
\(\displaystyle{ D=(-\infty,-1) \cup (1,+\infty)}\)

\(\displaystyle{ \lim_{x \to -1^-} \ln \frac{x-1}{x+1} = [\ln\frac{-2}{0^-}] = [\ln +\infty] = +\infty}\)
x=-1 asymptota pionowa lewostronna
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 1^+} \ln \frac{x-1}{x+1} = [\ln\frac{0^+}{2}] = [\ln 0] = -\infty}\)
x=1 asymptota pionowa prawostronna

\(\displaystyle{ \lim_{x \to -\infty } \ln \frac{x-1}{x+1} = [\ln 1] = 0}\)
\(\displaystyle{ \lim_{x \to +\infty } \ln \frac{x-1}{x+1} = [\ln 1] = 0}\)
y=0 asymptota pozioma obustronna

[ Dodano: 26 Stycznia 2008, 01:01 ]
przykład 2)
\(\displaystyle{ D=R-\{-1\}}\)
\(\displaystyle{ \lim_{x \to -1^-} \arctan \frac{x-1}{x+1} \to ft| t=\frac{x-1}{x+1} \right| \to \lim_{t \to } \arctan t = \frac{\pi}{2}}\)
\(\displaystyle{ \lim_{x \to -1^+} \arctan \frac{x-1}{x+1} \to ft| t=\frac{x-1}{x+1}\right| \to \lim_{t \to -\infty} \arctan t = -\frac{\pi}{2}}\)
brak asymptot pionowych

\(\displaystyle{ \lim_{x \to -\infty} \arctan \frac{x-1}{x+1} = [\arctan 1] = \frac{\pi}{4}}\)
\(\displaystyle{ \lim_{x \to } \arctan \frac{x-1}{x+1} = [\arctan 1] = \frac{\pi}{4}}\)
\(\displaystyle{ y=\frac{\pi}{4}}\) asymptota pozioma obustronna