Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ a,b,c,d}\) będą kolejnymi bokami czworokąta o polu \(\displaystyle{ S}\), zaś \(\displaystyle{ e,f}\) - jego przekątnymi. korzystając z nierówności między średnimi otrzymujemy:
\(\displaystyle{ e+f \ge 2\sqrt{ef} \ge 2\sqrt{2S}}\),
co przy \(\displaystyle{ S=1}\) daje minimum \(\displaystyle{ e+f=2\sqrt{2}}\). Spośród czworokątów o tym samym polu najmniejszy obwód ma kwadrat, stąd \(\displaystyle{ a+b+c+d \ge 4}\) i ostatecznie
\(\displaystyle{ a+b+c+d+e+f \ge 4+2\sqrt{2}}\),
co jest osiągalne dla kwadratu.