Matematyka.pl

Proszę o rozwiązanie tego zadania:

Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, mając dane:

a) wysokość ostrosłupa \(\displaystyle{ h=8 \ cm}\), kąt między wysokością a ścianą boczną ostrosłupa \(\displaystyle{ \alpha=45°}\)

b) pole powierzchni bocznej \(\displaystyle{ P_{b} = 64 \ cm ^{2}}\), kąt między wysokością a ścianą boczną \(\displaystyle{ \alpha=30°}\)

a)
H=8
a- długośc krawedzi podstawy
h- wysokość ściany bocznej
Z własności trójkąta o kątach 45,45,90:\(\displaystyle{ H=\frac{1}{2}a a=8\cdot 2=16}\)
A więc objetość jest równa:
\(\displaystyle{ V=\frac{1}{3}PpH V=\frac{1}{3}a^2H\\
V=\frac{1}{3}\cdot 16^2\cdot 8=682\frac{2}{3}}\)
Aby obliczyc pole powierzchni potrzebna jest wysokość ściany bocznej:
\(\displaystyle{ h=H\sqrt{2} h=8\sqrt{2}}\)
Zatem:
\(\displaystyle{ Ppc=Pp+4Ps\\
Ps=\frac{1}{2}ah=\frac{1}{2}\cdot 8 8\sqrt{2}=32\sqrt{2}}\)
I końcowym wynikiem jest:
\(\displaystyle{ Pc=16^2+4\cdot 32\sqrt{2}=256+128\sqrt{2}=128(2+\sqrt{2})}\)