Matematyka.pl

Witam
Dział chyba odpowiedni - matematyka dyskretna.

Za bardzo nie wiem jak zabrać się do tych zdań.
Jakieś pomysły?

\(\displaystyle{ \forall_i (X_{i} Y_{i}) \bigcup_{i} X_i\subseteq\bigcup_{i} Y_i}\)

\(\displaystyle{ \forall_i(X_{i}\subseteq Y_{i}) \bigcap_{i} X_i\subseteq\bigcap_{i} Y_i}\)

Jedno wyrażenie - jedne klamry nad całością. Inaczej niewygodnie się czyta.
Kasia

Dz za poprawke bo byl wlasnie problem z nawiasem

Wykażemy pierwszą implikację.
Weźmy dowolny \(\displaystyle{ x\in\bigcup_iX_i}\). Wówczas \(\displaystyle{ x\in X_{i_0}}\) dla pewnego \(\displaystyle{ i_0}\). Ponieważ w szczególności \(\displaystyle{ X_{i_0}\subset Y_{i_0}}\), to \(\displaystyle{ x\in Y_{i_0}}\). Co za tym idzie \(\displaystyle{ x\in\bigcup_iY_i}\). Z dowolności wyboru x dostajemy tezę.

Wykażemy teraz drugą implikację.
Weźmy dowolony \(\displaystyle{ x\in\bigcap_iX_i}\). Wówczas \(\displaystyle{ x\in X_i}\) dla każdego \(\displaystyle{ i}\). Z założenia \(\displaystyle{ X_i\subset Y_i}\) dla każdego \(\displaystyle{ i}\), więc \(\displaystyle{ x\in Y_i}\) dla każdego \(\displaystyle{ i}\). W konsekwencji \(\displaystyle{ x\in\bigcap_iY_i}\). Z dowolności wyboru x dostajemy tezę.

Niestety tak nie bedzie poprawnie.
Musze miec dowod jak w rachunku zdan (zapewne rozmyty rachunek zdan), kwantyfikatorow. ale dziekuje Panu za pomoc.