Matematyka.pl

Proszę serdecznie o pomoc w rozwiązaniu kilku przykładów, które sprawiły mi trudność.
Czy istnieją granice (jeśli tak to jakie):

1) \(\displaystyle{ \lim_{x\to0+} \sin \frac{1}{x}}\)

2) \(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty} \cos x^2}\)

3) \(\displaystyle{ \lim_{x\to\pi} \frac{1}{\sin x}}\)

4) \(\displaystyle{ \lim_{x\to2\pi} \frac{x-2\pi}{\sin x}}\)

5) \(\displaystyle{ \lim_{x\to1} \frac{x^3 - 1}{|x-1|}}\)

3 \(\displaystyle{ \lim_{x\to \pi}\frac{0}{cosx}=0}\)

5.
\(\displaystyle{ \lim{x\to 1^+} \frac{x^3-1}{x-1}=\lim-{x\to 1}\frac{(x-1)(x^2+x+1)}{x-1}=3\\
\lim_{x\to 1^-}\frac{x^3-1}{|x-1|}=\lim_{x\to 1^-}\frac{(x-1)(x^2+x+1)}{-(x-1)}=\lim_{x\to 1^-}\frac{x^2+x+1}{-1}=\lim_{x\to 1^-} (-x^2-x-1)=-3}\)
\(\displaystyle{ \lim_{x\to^1^+}\not=\lim_{x\to 1^-}}\) więc granica nie istnieje.

Dargi, to aby zostało shospitalizowane? Wiesz jakie są założenia do tego twierdzenia?

Panowie i Panie! Czy można to jakoś rozwiązać bez wykorzystania de l'Hospitala?

3. \(\displaystyle{ \lim_{x\to \pi^+}\frac{1}{sinx}=[\frac{1}{0^-}]=-\infty\\
\lim_{x\to \pi^-}\frac{1}{sinx}=[\frac{1}{0^+}]=\infty}\)
czylio granica nie istnieje!