Matematyka.pl

Czy ma ktoś pomysł jak udowodnić, że

\(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}}\)

nie da sie zapisać jako f(x)*g(y)?

Siedziałem trochę nad tym, ale nie mam pojęcia jak to zrobić. Bardzo mi na tym zależy. Z góry wielkie dzięki.

Załóżmy, że istnieją dwie takie funkcje, które po wymnożeniu dadzą to wyrażenie na całej dziedzinie.

Dla x=0 otrzymujemy, że:
f(0)*g(y)=y^2a*g(y)=y^2g(y)=(y^2)/a

Dla y=o otrzymujemy, że:
f(x)=(x^2)/b

Po wymnożeniu tych funkcji otrzymujemy sprzeczność, która na mocy dowodu nie wprost, dowodzi, że istnienie takich funkcji jest niemożliwe