Matematyka.pl

Jestem wręcz pewien, że tu powinien być wzór skróconego mnożenia, ale jestem dziś jakiś otumaniony chyba i nic nie widze.

Wykaż, że dla każdych \(\displaystyle{ a,b R_{+}}\) prawdziwa jest nierówność

\(\displaystyle{ \frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{a} qslant a+b+c}\)

prawdziwe są nierówności
\(\displaystyle{ a^2-2ab+b^2 qslant 0}\)
\(\displaystyle{ b^2-2bc+c^2 qslant 0}\)
\(\displaystyle{ c^2-2ca+a^2 qslant 0}\)

dzieląc pierwszą nierówność przez \(\displaystyle{ b}\) drugą przez \(\displaystyle{ c}\) trzecią przez \(\displaystyle{ a}\) otrzymujemy
\(\displaystyle{ \frac{a^2}{b}-2a+b\geqslant 0}\)
\(\displaystyle{ \frac{b^2}{c}-2b+c\geqslant 0}\)
\(\displaystyle{ \frac{c^2}{a}-2c+a\geqslant 0}\)

dodając te nierówności stronami dostajemy:
\(\displaystyle{ \frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{a} qslant a+b+c}\) q.e.d.