Matematyka.pl

Takie zadanie:

Uzasadnij, że jeśli miary kątów trójkąta są trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego o ilorazie 2, to między długościami boków trójkąta zachodzi związek \(\displaystyle{ \frac{1}{a}=\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}\), gdzie a oznacza dlugość najkóotszego boku.

pzdr, Aram

coś jest nie tak - nie wychodzi.

Korzystając z twierdzenia sinusów można dojść do wyniku.

mi tez wlasnie nie wychodzi... i nie rozumiem czy zle robie czy zadanie jest skopane

wychodzi, wychodzi
zauważ najpierw że \(\displaystyle{ \alpha +2\alpha +4\alpha= 7\alpha=180^{o}}\)
teraz z twierdzenia sinusów:
\(\displaystyle{ a=2R\sin \quad b=2R\sin \beta\quad c=2R\sin \gamma}\)
obliczamy wartość wyrażenia\(\displaystyle{ \frac{1}{a}-\frac{1}{b}-\frac{1}{c}}\)-jeśli równa się ono 0, to mamy udowodnione twierdzenie. Więc:
\(\displaystyle{ \frac{1}{a}-\frac{1}{b}-\frac{1}{c}=\frac{1}{2R\sin\alpha}-\frac{1}{2R\sin2\alpha}-\frac{1}{2R\sin4\alpha}=\frac{\sin 2\alpha\cdot \sin 4\alpha-\sin \cdot \sin 4\alpha-\sin \cdot \sin 2\alpha}{2R\sin\alpha \sin 2\alpha \sin 4\alpha}}\)
obliczamy licznik:
\(\displaystyle{ \sin 2\alpha \sin 4\alpha-\sin \cdot \sin 2\alpha-\sin \cdot \sin 2\alpha=-\sin (\sin 4\alpha+\sin 2\alpha)+\sin 2\alpha\cdot \sin 4\alpha=-\sin \cdot 2\sin 3\alpha\cdot \cos +\sin 2\alpha \sin 4\alpha=\\=\sin 2\alpha\cdot \sin 4\alpha-\sin 2\alpha\cdot \sin 3\alpha=\\ =\sin 3\alpha (\sin 4\alpha-\sin 3\alpha)=\sin 2\alpha 2\cdot \sin \frac{\alpha}{2}\cdot \cos \frac{7\alpha}{2}=0}\)
gdyż \(\displaystyle{ \cos \frac{7\alpha}{2}=\cos \frac{180^{o}}{2}=\cos 90^{o}=0}\)
CNU

nom.. zrobilem troche innym sposobem i tez mi wyszlo. Grunt to zauwazyc ze \(\displaystyle{ 7\alpha=180}\) i pozniej to wykorzystac