Matematyka.pl

Mam pytanie dotyczące pojęcia definicji równoliczności zbiorów.
Zgodnie z ową definicją dwa zbiory A,B są równoliczne, jeżeli mają tę samą liczbę elementów.

Inna definicja mówi, że dwa zbiory A,B są równoliczne jeżeli istnieje bijekcja \(\displaystyle{ f:A B}\)

Mam więc pytanie odnośnie takich dwóch zbiorów:

\(\displaystyle{ A= \{2,1\}}\)
\(\displaystyle{ B=\{0,1\}}\)

Zgodnie z 1 definicją oba te zbiory maja po 2 elementy czyli są równoliczne.
Ale jest jeszcze druga definicja, która mówi że jeżeli istnieje bijekcja \(\displaystyle{ f:A B}\) to wtedy zbiory są równoliczne.

Z mojego rozumowania wynika tak:
Da się wymyslić funkcję dla tego przykładu, i jest to funkcja y=0x+1, tyle że to jest linia pozioma, a funkcja stała nie jest przecież bijekcją (bo nie jest iniekcją). Czyli wychodziłoby na to że zbiory nie są równoliczne.

Czy to jest związane z tym że w obu zbiorach występuje powtarzający się element, czy może wynika z czegoś innego?

Masz rację, skoro te zbiory są równoliczne to musi istnieć jakaś dowolna bijekcja. Tutaj dobrym przykładem będzie np.:
\(\displaystyle{ f:A\rightarrow B \{x:x\in A, \ f(x)=x-1\}}\) Funkcja \(\displaystyle{ f(x)=x-1}\) jest i iniekcją i suriekcją oraz zachodzi \(\displaystyle{ f(1)=0 f(2)=1}\)
Musisz pamietać, że nasza bijekcja może być dowolną funkcją, a nie tylko funkcją liniową (akurat tutaj taka wystarcza).

No dobrze, ale dla twojej funkcji \(\displaystyle{ f(x)=x-1}\) nie zachodzi \(\displaystyle{ f(0)}\)
bo \(\displaystyle{ f(0)=-1}\), a powinno być \(\displaystyle{ 1}\)

Bo to przeciez powinna być funkcja:
\(\displaystyle{ f(2)=1}\) i \(\displaystyle{ f(0)=1}\)
A już tutaj widać że taka funkcja nie może być iniekcją, czyż nie?

Zauważ, że tą funkcją działamy na zbiorze A dokonując odwzorowania w zbiór B.
W drugą stronę też łatwo znaleźć bijekcję taką, że \(\displaystyle{ f:B\rightarrow A}\). Będzie po prostu funckją odwrotną. Powinna być taka funkcja, że \(\displaystyle{ (f(1)=k\in B\wedge f(2)=l\in B)\wedge k\neq l}\), ponieważ \(\displaystyle{ A=\{1,2\}}\)

Czyli, reasumując, nie ma odstępstw od pierwszej definicji, i jeżeli dwa zbiory mają tyle samo elementów, niezależnie od tego jakie są elementy tych zbiorów, to są zawsze równoliczne?

jest tylko jedna definicja równoliczności - A~B jeśli istnieje bijekcja z A w B

I tutaj bez żadnych kombinacji o funkcjach liniowych piszemy sobie, że taką na przykład bijekcją jest funkcja, która przeprowadza A w B i f(2) = 0, f(1) = 1.