Matematyka.pl

Witam, mam drobny problem z jedną całką.
Dopiero zaczynam analizę, więc nie znam zbyt wielu metod rozwiązywania takich przykładów.

\(\displaystyle{ \int_{}^{} e^{-2x} cos(2x) }\)

Próbowałem to zrobić z części, i z podstawienia. Rozwiązywałem podobne przykłady właśnie w ten sposób, ale z tą całką mam interesujący problem.

Na końcu wychodzi mi "I = coś + coś + I"
Proszę, by ktoś mnie oświecił.

Internetowy skrypt do takich rzeczy podał odpowiedź
\(\displaystyle{ \int_{}^{} e^{-2x} cos(2x) = \frac{1}{4}e^{-2x}(sin2x - cos2x)}\)
Ale skąd to wynika? Nie mam pojęcia.

Z podstawienia:
\(\displaystyle{ I= t e^{-2x}cos(2x)dx = \frac{e^{-2x}sin(2x)}{2} + P}\)

Gdzie \(\displaystyle{ P= t e^{-2x}sin(2x)dx}\)

Z drugiej strony:
\(\displaystyle{ I= 2\int e^{-2x}cos^2xdx - t e^{-2x}dx \\
= 2(\frac{-e^{-2x}}{2}\cdot cos^2x) - P + \frac{e^{-2x}}{2}}\)


Czyli:

\(\displaystyle{ \frac{e^{-2x}sin(2x)}{2} + P = I = 2(\frac{-e^{-2x}}{2}\cdot cos^2x) - P + \frac{e^{-2x}}{2} \\
P = \frac{e^{-2x}}{2}(-cos^2x+\frac{1}{2} -\frac{sin(2x)}{2} ) \\
I = \frac{e^{-2x}}{2}(\frac{sin(2x)}{2} - \frac{2cos^2x-1}{2} ) \\ =
\frac{e^{-2x}}{4} (sin2x-cos2x)}\)