Matematyka.pl

Zadanie 2.
Funkcja \(\displaystyle{ f}\) przyporządkowuje każdej liczbie ze zbioru \(\displaystyle{ A = [0,1,...17]}\) resztę z dzielenia tej liczby przez \(\displaystyle{ 7}\), a każdej liczbie ze zbioru \(\displaystyle{ B = [18,19,..31]}\) resztę z dzielenia tej liczby przez \(\displaystyle{ 5}\).

a) Podaj miejsca zerowe funkcji \(\displaystyle{ f}\).
b)Czy prawdą jest, że dla każdej liczby \(\displaystyle{ x \in {14,15,16,17,18,19,20}}\) zachodzi warunek\(\displaystyle{ f(x) + f(1) = f(x+1)}\)? Odpowiedź uzasadnij.
c)Rozwiąż nierówność \(\displaystyle{ f(x)>3}\), gdy \(\displaystyle{ x {0,1,...31}}\)

Zadanie 5.
Funkcja f określona wzorem \(\displaystyle{ f(x)= \frac{5}{3x ^{2} + 4} - 3}\) przyjmuję największą wartość równą:
A \(\displaystyle{ 3 - \sqrt{2}}\)
B \(\displaystyle{ -2 \frac{2}{7}}\)
C \(\displaystyle{ \sqrt{2} - 3}\)
D \(\displaystyle{ -1 \frac{3}{4}}\)

Zad. 2
a) oczywiście miejscami zerowymi są liczby podzielne przez 7 ze zbioru A, i przez 5 ze zbioru B, więc są to odpowiednio: {0, 7, 14} oraz {25, 30}

b)Nie zachodzi, ponieważ (kontrprzykład dla tezy) \(\displaystyle{ f(19)+f(1)=4+1=5 f(20)=0}\).

c)szukamy więc liczb przystających do 4, 5, lub 6 modulo 7 w zbiorze A, i przystających do 4, modulo 5 w B, są to odpowednio: {4, 5, 6, 11, 12, 13} oraz z B : {19, 24, 29}

Zad. 5

Podana \(\displaystyle{ f(x)}\) , przyjmuje największą wartość, tam gdzie największe, jest też\(\displaystyle{ \frac{5}{3x ^{2} + 4}}\), a to jest największe, gdy \(\displaystyle{ 3x ^{2} + 4}\) jest najmniejsze, a ponieważ współczynnik przy \(\displaystyle{ x^{2}}\) jest dodatni to ta funkcja ma wartość najmniejszą, więc całe \(\displaystyle{ f(x)}\) ma wartość największą.

Najmniejsza wartość \(\displaystyle{ 3x ^{2} + 4}\), jest oczywiście równa 4, gdyż \(\displaystyle{ 3x ^{2}}\), jest zawsze nieujemne, i jego najmniejszą wartością, jest 0.

Więc największą wartością \(\displaystyle{ f(x)}\) jest \(\displaystyle{ f(0)=\frac{5}{4}-3=-\frac{7}{4}=-1\frac{3}{4}}\), więc odpowiedź D