Matematyka.pl

Jak wylicza się sumę tego oto szeregu:

\(\displaystyle{ \sum_{k=2}^{n}[ln(k+1)+ln(k-1)-2lnk]}\)

Pomoże ktoś? Tylko proszę nie wpisywać samego wyniku, chciałabym z jakimś wyjaśnieniem. Ogólnie sumowanie szeregów idzie mi cienko. Pozdrawiam

\(\displaystyle{ \sum_{k=2}^{n}[ln(k+1)+ln(k-1)-2lnk]= \sum_{k=2}^{n}[ln(k+1)+ln(k-1)-lnk^2]=
\sum_{k=2}^{n}ln \frac{(k+1)(k-1)}{k^2}=ln \frac{3 1}{2^2}+ln \frac{4 2}{3^2} + ... + ln \frac{n(n-2)}{(n-1)^2}+ ln \frac{(n+1)(n-1)}{n^2}=
ln [ \frac{3 1}{2^2} \frac{4 2}{3^2} ... \frac{n(n-2)}{(n-1)^2}\cdot \frac{(n+1)(n-1)}{n^2}]}\)

widać że w iloczynie pod logarytmem poskraca się większość wyrazów, zostanie tylko
\(\displaystyle{ \frac{n+1}{2n}}\)

tak więc \(\displaystyle{ \sum_{k=2}^{n}[ln(k+1)+ln(k-1)-2lnk]=ln[\frac{3 1}{2^2} \frac{4 2}{3^2} ... \frac{n(n-2)}{(n-1)^2}\cdot \frac{(n+1)(n-1)}{n^2}]=ln \frac{n+1}{2n}}\)

Dzięki za poprzednie. A teraz nie mogę sobie poradzić z tym oto zadankiem.

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ } \frac{2 ^{1}+ 2^{2}+ 2^{3}+...+2 ^{n}}{ 3^{n} }}\)

Myślałam żeby wykorzystać wzór na sumę szeregu geometrycznego, ale nie wychodzi.
Chciałam przedstawić licznik jakimś wzorem ogólnym, ale no jakoś nie idzie...
Pozdrawiam


P.S. Odpowiedż tego zadania to: \(\displaystyle{ \frac{7}{2}+ \frac{1}{2}*( \frac{1}{3})^{n}-4( \frac{2}{3} ) ^{n}}\). Nie mogę dojść do tego jak oni to zrobili.

Łatwo udowodnić, że \(\displaystyle{ 2+2^{2}+...+2^{n}=2^{n+1}-2=2(2^{n}-1)}\) (np. indukcją). Powinno pomóc potem najłatwiej z Cauchy'ego.

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ } \frac{2 ^{1}+ 2^{2}+ 2^{3}+...+2 ^{n}}{ 3^{n} }=
\sum_{n=1}^{ } \frac{2(2^n-1)}{ 3^{n} }=2\sum_{n=1}^{ } \frac{(2^n-1)}{ 3^{n}}=2\sum_{n=1}^{ } (\frac{2}{ 3})^n-2\sum_{n=1}^{ } \frac{1}{ 3^{n}}=2\frac{ \frac{2}{ 3}((\frac{2}{ 3})^n-1)}{\frac{2}{ 3}-1}- 2\frac{\frac{1}{ 3}(\frac{1}{ 3^{n}}-1)}{\frac{1}{ 3}-1}= \frac{ \frac{4}{ 3}(\frac{2}{ 3})^n-\frac{4}{ 3}}{-\frac{1}{ 3}}- \frac{\frac{2}{ 3}\frac{1}{ 3^{n}}-\frac{2}{ 3}}{-\frac{2}{ 3}}=-4( \frac{2}{3})^n+ ( \frac{1}{3})^2 + 3}\)

[ Dodano: 5 Stycznia 2008, 17:13 ]
równość której użyłem i o której napisał polskimisiek: \(\displaystyle{ 2+2^{2}+...+2^{n}=2^{n+1}-2=2(2^{n}-1)}\)
wynika ze wzoru \(\displaystyle{ (x-1)(1+x+x^2+...+x^{n-1})=x^n-1}\)

Po rozbiciu szeregu na ciągi, to czy ten drugi ciąg też nie powinnien być pomnożony przez 2??

[ Dodano: 5 Stycznia 2008, 22:51 ]
Tym razem mam taki szereg geometryczny:

\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ }( \frac{1}{ 3^{n} }- \frac{1}{ 3^{n+1} })}\)

Mam określić jego zbieżność. Mi wychodzi 1, a w odp. jest \(\displaystyle{ \infty}\).
Moim zdaniem q=1/3 więc możemy skorzystać ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego: \(\displaystyle{ \frac{ a_{1} }{1-q}}\) gdzie \(\displaystyle{ a_{1}}\) wynosi tutaj \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\)

Z góry dziękuję za pomoc

\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ }( \frac{1}{ 3^{n} }- \frac{1}{ 3^{n+1} })=
\frac{2}{3} \sum_{n=0}^{ } \frac{1}{ 3^{n}}=\frac{2}{3}(\frac{ \frac{1}{3^{n+1}}-1}{ \frac{1}{3}-1})=1-\frac{1}{3^{n+1}}}\)

co przy \(\displaystyle{ n }\) daje nam \(\displaystyle{ 1}\)