Matematyka.pl

Pomóżcie:

1.\(\displaystyle{ \int \frac{x^4}{1-x} dx}\)
2.\(\displaystyle{ \int \frac{\sqrt{1+ \ln x}}{x \ln x}}\)
3.\(\displaystyle{ \int (2x+3) \sin x dx}\)
4.\(\displaystyle{ \int \frac{ \arcsin x}{ \sqrt{1+x}} dx}\)
5. \(\displaystyle{ \int x \cos^{2} x dx}\)
6. \(\displaystyle{ \int x \arccot x dx}\) tu zamiast drugiego x ma byc arcctgx, ale nie chce tak sie zapisac
7.\(\displaystyle{ \int x \tan^{2} x dx}\)
8.\(\displaystyle{ \int \arctan \frac{x}{5} dx}\)
9.\(\displaystyle{ \int \arctan x dx}\)
10.\(\displaystyle{ \int x^{2} \exp^{2x} dx}\)

Nie wychodzą mi te całeczki. Z góry dziękuje

Czy mógłby ktoś podpowiedzieć mi jak zrobić pozostałe całki?

2)
\(\displaystyle{ \int \frac{\sqrt{1+ \ln x}}{x \ln x} dx\\
lnx=t\\
\frac{dx}{x}=dt\\
t \frac{\sqrt{1+t}}{t}dt=
\sqrt{1+t}=s\\
1+t=s^2\\
t=s^2-1\\
dt=2s ds\\
2\int \frac{s^2ds}{s^2-1}=
2\int \frac{s^2-1+1}{s^2-1}ds=
2\int ds+2\int \frac{ds}{(s-1)(s+1)}=
2s+2[\frac{1}{2}\int \frac{ds}{s-1}-\frac{1}{2}\int \frac{ds}{s+1}]=
2s+\int \frac{ds}{s-1}-\int \frac{ds}{s+1}]=
2s+ln|s-1|-ln|s+1|+C=
2s+ln\left|\frac{s-1}{s+1}\right|+C=
2\sqrt{t+1}+ln\left|\frac{\sqrt{t-1}-1}{\sqrt{t+1}+1}\right|+C=
2\sqrt{lnx+1}+ln\left|\frac{\sqrt{lnx-1}-1}{\sqrt{lnx+1}+1}\right|+C}\)


3)
\(\displaystyle{ \int (2x+3) \sin x dx =
2\int x\sinxdx+3\int sinxdx=
2\int x \sin x-4cosx=*\\
t x\sin xdx\\
u=x\ \ dv=sinx\\
du=1\ \ v=-cosx\\
-xcosx+\int cosxdx=-xcosx+sinx\\
*=-xcosx+sinx-4cosx+C}\)


POZDRO

a w 3) moge za

\(\displaystyle{ u=2x+3}\) a za \(\displaystyle{ dv=sinx}\)


wyszlo mi co stakiego, dobrze to jest?

\(\displaystyle{ (2x+3)(-cosx)+2sinx + C}\)

No masz wtedy:
\(\displaystyle{ du=2dx\ \ \ v=-cosx\\
=(2x+3)(-cosx)+2\int cosxdx=(2x+3)(-cosx)+2sinx+C}\)

Czyli jak najbardziej prawidlowo POZDRO

[ Dodano: 4 Stycznia 2008, 23:51 ]
10)
\(\displaystyle{ \int x^{2} \exp^{2x} dx\\
2x=t\ \ dx=\frac{dt}{2}\\
x=\frac{t}{2}\\
\frac{1}{8}\int t^2e^tdt\\
u=t^2\ \ dv=e^t\\
du=2tdt\ \ v=e^t\\
\frac{1}{8}[t^2e^t-2\int te^tdt]\\
u=t\ \ dv=e^t\\
du=dt\ \ v=e^t\\
\frac{1}{8}[t^2e^t-2(te^t-\int e^tdt)]=
\frac{1}{8}[t^2e^t-2(te^t- e^t)]+C=
\frac{t^2e^t}{8}-\frac{te^t}{4}+\frac{e^t}{4}+C=
\frac{4x^2e^{2x}}{8}-\frac{2xe^{2x}}{4}+\frac{e^{2x}}{4}+C}\)

9)
\(\displaystyle{ \int \arctan x dx \\
arctanx=t\\
x=tant\\
dx=\frac{dt}{cos^2t}\\
t \frac{t}{cos^2t}dt\\
u=t\ \ dv=\frac{dt}{cos^2t}\\
du=dt\ \ v=\int \frac{dt}{cos^2t}=tant\\
t\cdot tant-\int tan tdt=
t\cdot tant-\int \frac{sint}{cost} dt=
t\cdot tant+\int \frac{-sint}{cost} dt=
t\cdot tant+ln|cost|+C=...}\)

8) Tak samo jak wczesniejsze, tylko najpier sie podstawia:
\(\displaystyle{ \frac{x}{5}=t\\
dx=5dt\\
5\int arctg t dt\\
arctgt=s\\
t=tgs\\
...}\)

[ Dodano: 5 Stycznia 2008, 00:05 ]
7)
\(\displaystyle{ \int x \tan^{2} x dx \\
u=x\ \ dv=tan^2xdx\\
du=dx\ \ v=\int tan^2x=tanx-x\\
xtanx-x^2-\int (tanx-x)dx=
xtanx-x^2-\int tanxdx+\int xdx=
xtanx-x^2+ln|cosx|+ \frac{x^2}{2}+C=
xtanx-\frac{x^2}{2}+ln|cosx|+C}\)

6)
\(\displaystyle{ \int x arctgxdx\\
u=arctgx\ \ dv=xdx\\
du=\frac{dx}{x^2+1}\ \ v=\int xdx=\frac{x^2}{2}\\
\frac{x^2arctgx}{2}-\frac{1}{2}\int \frac{x^2}{x^2+1}dx=
\frac{x^2arctgx}{2}-\frac{1}{2}\int (1-\frac{1}{x^2+1})dx=
\frac{x^2arctgx}{2}-\frac{1}{2}\int dx+\frac{1}{2}\int \frac{dx}{x^2+1})=
\frac{x^2arctgx}{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}arctgx+C}\)

5) Moze mala podpowiedz:
\(\displaystyle{ cos^2x=\frac{cos2x+1}{2}}\)
Zapisz wymnoz i przez czesci

4)
\(\displaystyle{ \int \frac{ \arcsin x}{ \sqrt{1+x}} dx \\
u=arcsin x\ \ \ dv=\frac{dx}{\sqrt{1+x}}\\
du=\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}\ \ \ v=\int \frac{dx}{\sqrt{1+x}}=2\sqrt{1+x}\\
2arcsinx\sqrt{1+x}-2\int \frac{\sqrt{1+x}}{\sqrt{1-x^2}}dx=
2arcsinx\sqrt{1+x}-2\int \sqrt{ \frac{1+x}{1-x^2}}dx=
2arcsinx\sqrt{1+x}-2\int \sqrt{ \frac{1}{1-x}}dx=
2arcsinx\sqrt{1+x}-2\int \frac{1}{\sqrt{1-x}}dx=
2arcsinx\sqrt{1+x}+2\int (2\sqrt{1-x})'dx=
2arcsinx\sqrt{1+x}+4\sqrt{1-x}+C}\)

Juz wszystkie POZDRO

Dziękuję wam BARDZO!

[ Dodano: 5 Stycznia 2008, 00:19 ]
A mógłby ktoś wytłumaczyć, dlaczego tak została zrobiona całka 1.?

\(\displaystyle{ -\int \frac{x^4}{x-1} dx=
-\int \frac{x^3(x-1)+x^3}{x-1}dx=
-\int \frac{x^3(x-1)+x^2(x-1)+x^2}{x-1}dx=
-\int \frac{x^3(x-1)+x^2(x-1)+x(x-1)+x}{x-1}dx=
-\int \frac{x^3(x-1)+x^2(x-1)+x(x-1)+x-1+1}{x-1}dx=
-\int ft (\frac{x^3(x-1)}{x-1}+\frac{x^2(x-1)}{x-1} +\frac{x(x-1)}{x-1}+\frac{x-1}{x-1}+\frac{1}{x-1}\right)dx=\\
-\int ft(x^3+x^2+x+1+\frac{1}{x-1}\right)dx=
-\int x^3dx-\int x^2dx-\int xdx-\int dx-\int \frac{dx}{x-1}=...}\)

Takie rozbicie, albo poprostu dzielenie wielomianow z reszta POZDRO

witam,
mam pytanie odnosnie podpowiedzi do calki 5. ten wzor jest wyprowadzony z jakiegos innego? bo nie kojarze takiej zaleznosci... a znajac ją caleczka wychodzi pieknie:) a jak rozwiazac taka samą calkę, w ktorej w miejsce (cosx)^2 wstawimy (sinx)^2 ? z gory dzieki za odp

fooksiara pisze:witam,
mam pytanie odnosnie podpowiedzi do calki 5. ten wzor jest wyprowadzony z jakiegos innego? bo nie kojarze takiej zaleznosci... a znajac ją caleczka wychodzi pieknie:) a jak rozwiazac taka samą calkę, w ktorej w miejsce (cosx)^2 wstawimy (sinx)^2 ? z gory dzieki za odp

\(\displaystyle{ sin^2x=\frac{1-cos(2x)}{2}}\)

fooksiara pisze:witam,
mam pytanie odnosnie podpowiedzi do calki 5. ten wzor jest wyprowadzony z jakiegos innego? bo nie kojarze takiej zaleznosci... a znajac ją caleczka wychodzi pieknie:) a jak rozwiazac taka samą calkę, w ktorej w miejsce (cosx)^2 wstawimy (sinx)^2 ? z gory dzieki za odp

Wzor na podwojny kat:
\(\displaystyle{ cos2x=cos^2x-sin^2x}\)

Stad:
\(\displaystyle{ cos2x=cos^2x-(1-cos^2x)\\
cos2x=2cos^2x-1\\
cos2x+1=2cos^2x\\
cos^2x=\frac{cos2x+1}{2}}\)

oraz:
\(\displaystyle{ cos2x=1-sin^2x-sin^2x\\
cos2x=1-2sin^2x\\
-cos2x+1=2sin^2x\\
sin^2x=\frac{1-cos2x}{2}}\)

POZDRO

Dziekuje bardzo za wyjasnienia