Matematyka.pl

Dana jest funkcja:

\(\displaystyle{ f(x)= \frac{ x^{2}+6x+10 }{x+3}}\)

a) Wyznacz asymptpty wykresu funkcji f.
b) Określ przedziały monotoniczności tej funkcji.
c) Znajdz ekstrema lokalne funkcji f.

\(\displaystyle{ x\in R\backslash \{-3\}}\)
\(\displaystyle{ \lim_{x \to -3^+}f(x)=\lim_{x \to -3^+}\frac{x^2+6x+10}{x+3}=\infty\\
\lim_{x \to -3^-}f(x)=\lim_{x \to -3^-}\frac{x^2+6x+10}{x+3}=-\infty}\)
czyli \(\displaystyle{ x=-3}\) jest asymptot pionową \(\displaystyle{ f(x)}\)
\(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty } f(x)=\lim_{x \to \infty }\frac{x^2+6x+10}{x+3}=\lim_{x \to \infty }\frac{x(x+6+\frac{10}{x})}{x(1+\frac{3}{x})}=\infty\\
\lim_{x \to -\infty } f(x)=\lim_{x \to -\infty }\frac{x^2+6x+10}{x+3}=\lim_{x \to -\infty }\frac{x(x+6+\frac{10}{x})}{x(1+\frac{3}{x})}=-\infty}\)
czyli funkcja nie ma asymptoty poziomej
\(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty } \frac{f(x)}{x}=\lim_{x \to \infty }\frac{\frac{x^2+6x+10}{x+3}}{z}=\lim_{x \to \infty }\frac{x^2+6x+10}{x(x+3)}=\lim_{x \to \infty }\frac{x^2+6x+10}{x^2+3x}=\lim_{x \to \infty }\frac{x^2(1+\frac{6}{x}+\frac{10}{x^2})}{x^2(1+\frac{3}{x})}=1\\
\lim_{x \to \infty }(f(x)-x)=\lim_{x \to \infty }\frac{x^2+6x+10}{x+3}-x=\lim_{x \to \infty }\frac{x^2+6x+10-x-3}{x+3}=\lim_{x \to \infty }\frac{x^2+5x+9}{x+3}=\infty}\)
czyli funkcja nie ma asymptoty ukosnej(ma jedynie kierunek asymptotyczny)
\(\displaystyle{ f'(x)=\frac{(2x+6)(x+1)-(x^2+6x+10)\cdot 1}{(x+3)^2}=\frac{2x^2+8x+6-x^2-6x-10}{(x+3)^2}=\frac{x^2+2x-4}{(x+3)^2}\\
f'(x)=0\Leftrightarrow \frac{x^2+2x-4}{(x+3)^2}=0 \Leftrightarrow x^2+2x-4=0\Leftrightarrow x=-4 \vee x=-2\\
f'(x)>0\Leftrightarrow \frac{x^2+2x-4}{(x+3)^2}>0 \Leftrightarrow x^2+2x-4>0\Leftrightarrow x\in (-\infty,-4)\cup (-2,\infty)\\
f'(x) x^2+2x-4}\)

Wszystko ok, tylko na samym końcu wypadałoby jednak sprawdzić rozwiązania tego trójmianu kwadratowego, z 4 linijki od końca chociażby wzorami Viete'a bo niestety tam jest błąd powinno być \(\displaystyle{ x^{2}+2x-4=0 \Leftrightarrow x=-1- \sqrt{5} \vee x=-1+ \sqrt{5}}\), no i kolejne nierówności też dają inne wyniki odpowiednio do rozwiązań tego równania, i tak max. lokalne jest w \(\displaystyle{ x=-1- \sqrt{5}}\), a min. lokalne w \(\displaystyle{ x=-1+ \sqrt{5}}\) reszta wygląda dobrze