Matematyka.pl

Dany jest trójkąt ABC, w którym: AB = 6, AC = BC = 5.
W jakiej odległości od punktu D, przecięcia się wysokości tego trójkąta, leży środek W okręgu wpisanego w ten trójkąt, a w jakiej środek S okręgu opisanego na tym trójkącie?

Oznaczam:
A, B, C - wierzchołki trójkąta; D, E - spodki wysokości \(\displaystyle{ \;h\;}\) i \(\displaystyle{ \;h_{1}\;}\) na bok odpowiednio AB i AC; O - przecięcie wysokości; \(\displaystyle{ \;S_{r}\;}\) - środek okręgu wpisanego; \(\displaystyle{ \;S_{R}\;}\) - środek okręgu opisanego.

\(\displaystyle{ \;|OS_{r}|=|CS_{r}|-|CO|\;}\) ; gdzie: \(\displaystyle{ \;|CS_{r}|= h-r\;}\);

\(\displaystyle{ \;|OS_{R}|=R-|CO|\;}\) ; - |CO| - obliczymy z trójkąta OEC obliczając po drodze kąt C/2 i bok |EC|.
Promienie i wysokości obliczymy z pola trójkąta ABC; a bok |EC| z zależności między wysokością i odcinkami na jaki dzieli ona bok |AC|.