Matematyka.pl

a) W trapezie kąty przy podstawie maja miary \(\displaystyle{ \alpha=60^o\: \beta=45^o}\), a różnica kwadratów długości podstaw jest równa 30. Oblicz pole trapezu.

b) Długość jednego z boków trapezu równoramiennego równa jest długości promienia okręgu wpisanego w ten trapez i wynosi 3 cm. Oblicz pole tego trapezu.

c) Na okręgu o promieniu 1,5 cm. opisano trapez o kątach przy dłuższej podstawie 30o i 60o. Oblicz pole tego trapezu.

d) W trapezie równoramiennym kąty przy krótszej podstawie mają miarę dwa razy większa niż kąty przy dłuższej podstawie. Dłuższa z podstaw ma długosć 16 cm, a odcinek łączący środki ramion 10 cm. Oblicz pole i obwód tego trapezu.

Ad a)


\(\displaystyle{ a^{2} - b^{2} = 30\\(a+b)(a-b)=30\\a-b=x+y (rysunek)}\)
stąd: \(\displaystyle{ a^{2} - b^{2} = (a+b)(a-b)=(a+b)(x+y)}\)
Szukamy pola P=\(\displaystyle{ \frac{1}{2}(a+b)h}\)
z trygonometii (lub tw. o trójkątach) mamy:
\(\displaystyle{ h=x\sqrt{3}\ \leftrightarrow \ x=\frac{\sqrt{3}}{3}h\\y=h}\)

a zatem:
\(\displaystyle{ a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)=(a+b)(x+y)=(a+b)(\frac{\sqrt{3}}{3}h+h)=(a+b)(h\frac{3+\sqrt{3}}{3})=30\ \leftrightarrow \\ h=\frac{30}{a+b}\frac{3}{3+\sqrt{3}}}\) [oczywiście a+b ≠ 30]
\(\displaystyle{ h=15\frac{3-\sqrt{3}}{a+b}\\P=\frac{1}{2}(a+b)h=\frac{1}{2}15(a+b)\frac{3-\sqrt{3}}{a+b}\\P=\frac{15}{2}(3-\sqrt{3})}\)

pozdrawiam
ps. pierwszy post w TeX'ie... męczące to...