trójkąt - udowodnij

Mariusz123 · Post autor: **Mariusz123** » 28 gru 2007, o 12:55

a.) Niech \(\displaystyle{ h_{a}}\) oznacza wysokość trójkąta opuszczoną na bok \(\displaystyle{ a}\) , a \(\displaystyle{ h_{b}}\) - wysokość opuszczoną na bok \(\displaystyle{ b}\) . Udowodnij, że w dowolnym trójkącie :

\(\displaystyle{ \frac{h_{a}}{h_{b}}}\) = \(\displaystyle{ \frac{b}{a}}\)

b.) Czy istnieje trójkąt, którego wysokości są równe 3 , 3 i 6 ?

Może ktoś pomóc w rozwiązaniu tego zadania ?

LichuKlichu · Post autor: **LichuKlichu** » 28 gru 2007, o 13:03

b) niech \(\displaystyle{ h_{a}, h_{b}, h_{c}}\) to wysokości opuszone odpowiednio na boki \(\displaystyle{ a,b,c}\)
Pole trójkąta to \(\displaystyle{ \frac{ah}{2}}\) niezależnie od tego jaką parę boku z wysokością podstawimy:
\(\displaystyle{ h_{a}=3\\h_{b}=3\\h_{c}=6}\)
\(\displaystyle{ P=\frac{3\cdot a}{2}=\frac{3\cdot b}{2}=\frac{6\cdot c}{2}}\)
\(\displaystyle{ b=a\\c=\frac{1}{2}a}\)

Zatem boki tego trójkąta to: \(\displaystyle{ a,a,\frac{1}{2}a}\)
z warunku istnienia trójkąta: \(\displaystyle{ a+b>c,a+c>b,b+c>a}\) sprawdzamy czy się zgadza:
\(\displaystyle{ a+a>\frac{1}{2}a}\)
\(\displaystyle{ a+\frac{1}{2}a>a}\)
\(\displaystyle{ a+\frac{1}{2}a>a}\)

czyli taki trójkąt istnieję

edit: przepraszam za pomyłkę

Wasilewski · Post autor: **Wasilewski** » 28 gru 2007, o 13:03

a) Przekształćmy:
\(\displaystyle{ h_b\cdot b= h_a\cdot a = \frac{1}{2}P}\)

Mariusz123 · Post autor: **Mariusz123** » 28 gru 2007, o 13:42

do podpunktu b.) mam odpowiedź, że jednak istnieje

Wasilewski pisze:a) Przekształćmy:
\(\displaystyle{ h_b\cdot b= h_a\cdot a = \frac{1}{2}P}\)

a tutaj nie powinno być czasem :
\(\displaystyle{ h_b\cdot b= h_a\cdot a = 2P}\) ? I co dalej ? Jak to udowodnić ?

Wasilewski · Post autor: **Wasilewski** » 28 gru 2007, o 13:59

Ano racja: \(\displaystyle{ a\cdot h_a = b\cdot h_b = 2P}\)
To już jest koniec bo udowodnione zostało, że są równe.

Kamix___33 · Post autor: **Kamix___33** » 28 gru 2007, o 14:03

Co do podpunktu b) taki trójkąt istnieje.
a=b to prawda, ale nie prawdą jest, że c= 2a.
a=b=2c czyli a=2c czyli c=1/2a
Dalej zrób tak jak to pokazał LichuKlichu, czyli z nierówności trójkąta sprawdź czy taki trójkąt istnieje.

LichuKlichu · Post autor: **LichuKlichu** » 28 gru 2007, o 14:12

aa, faktycznie, z pospiechu zawsze sie gdzies kopne juz poprawiam

Mariusz123 · Post autor: **Mariusz123** » 28 gru 2007, o 19:51

Wielkie dzięki wam wszystkim za pomoc