Suma szeregu kolejnych kwadratów

Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
Kobcio
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 42
Rejestracja: 10 lut 2007, o 15:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Grudziądz
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 4 razy

Suma szeregu kolejnych kwadratów

Post autor: Kobcio » 26 gru 2007, o 16:17

Mam taką rzecz jest sobie szereg postaci \(\displaystyle{ \sum_{x=1}^{n}x^{2}}\), a jego suma to ponoć \(\displaystyle{ \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}\), indukcyjnie już mi się łatwo udało wykazać, że to prawda, ale trapi mnie taki problem, jak można nieindukcyjnie, "dojść" do tego wzoru, jak się go wyprowadza ? taka ciekawość w sumie jak dacie podpowiedź to sam może dojdę do tego

Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 9834
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2629 razy

Suma szeregu kolejnych kwadratów

Post autor: » 26 gru 2007, o 17:04

Jeśli interesują Cię sposoby obliczania różnych sum, to polecam lekturę Matematyki konkretnej, jednej z ciekawszych książek jakie napisano o matematyce. Tam znajdziesz mnóstwo technik sumowania nawet najbardziej kosmicznych rzeczy.

A w tym konkretnym wypadku przyjrzyj się rachunkowi:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}k^2 = 1 + \sum_{k=2}^{n}k^2 = 1 + \sum_{k=1}^{n-1}(k+1)^2 = \\ =
1 + \sum_{k=1}^{n}(k+1)^2 - (n+1)^2 = \\ = 1 - (n+1)^2 + \sum_{k=1}^{n}(k^2 + 2k +1) = \\ =
1 - (n+1)^2 + \sum_{k=1}^{n}k^2 + \sum_{k=1}^{n}2k + \sum_{k=1}^{n}1 = \\ =
1 - n^2 -2n - 1 + \sum_{k=1}^{n}k^2 + 2 \sum_{k=1}^{n}k + n}\)
.
Mamy więc:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} k^2 = - n^2 -n + \sum_{k=1}^{n} k^2 + 2\sum_{k=1}^{n} k}\),
a stąd po zredukowaniu sum kwadratów łatwo możemy obliczyć wzór na \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}k}\). To nie jest co prawda to o co nam chodziło, ale mamy za to wskazówkę jak policzyć sumę kwadratów - zapewne wystarczy wykonać podobny rachunek dla \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}k^3}\), co pozostawiam jako ćwiczenie.

Pozdrawiam.
Qń.

Kobcio
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 42
Rejestracja: 10 lut 2007, o 15:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Grudziądz
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 4 razy

Suma szeregu kolejnych kwadratów

Post autor: Kobcio » 26 gru 2007, o 20:56

No to jest po prostu ładne Dzięki tak w ogóle to, to jest jak widzę szablon rozciągający się też na wyższe potęgi i faktycznie jak się wyjdzie od \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}k^3}\) to się dostaje wzór na \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} k^2}\)

Awatar użytkownika
bolo
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2470
Rejestracja: 2 lis 2004, o 08:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: BW
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 191 razy

Suma szeregu kolejnych kwadratów

Post autor: bolo » 27 gru 2007, o 12:18

Podobny temat był już poruszany:

http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=26462

Awatar użytkownika
Konikov
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 497
Rejestracja: 13 mar 2008, o 18:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: z całki tego świata
Podziękował: 66 razy
Pomógł: 44 razy

Suma szeregu kolejnych kwadratów

Post autor: Konikov » 11 mar 2010, o 20:41

W razie jakby ktoś jeszcze szukał dobrego wyprowadzenia, to polecam "Matematykę konkretną" (;

ODPOWIEDZ