Równania różniczkowe

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
Elektryk19
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 26 gru 2007, o 12:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Grudziadz

Równania różniczkowe

Post autor: Elektryk19 » 26 gru 2007, o 13:10

Witam moze ktos sprubuje rozwiazac bo mi nie wychodzi z gory dzieki \(\left( 1-x \right) ft( y+y'' \right) =e ^{-x}, \quad y(2)=0\) \((1-x)(y' + y)=e^x, \quad y(2)=0\) [ Dodano: 26 Grudnia 2007, 13:12 ] Dzieki
Ostatnio zmieniony 26 gru 2007, o 13:50 przez Elektryk19, łącznie zmieniany 1 raz.

Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3706
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko

Równania różniczkowe

Post autor: arek1357 » 26 gru 2007, o 13:54

sam zapis jest fatalny może tak: \((1-x)(y^{'}+y)=e^{-x}\) lub: \(y^{'}+y= \frac{e^{-x}}{1-x}\) rozwiązanie ogólne to: \(y=e^{-\int Pdx}(\int Qe^{\int Pdx}}dx+c)\) P=1 \(Q=\frac{e^{-x}}{1-x}\) czyli: \(y=e^{-\int dx}(\int \frac{e^{-x}}{1-x} e^{\int dx}}dx+c)\) po postych obliczeniach mamy: \(y=-e^{-x}ln(1-x)+Ce^{-x}\) z warunku C obliczysz pozdro...

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków

Równania różniczkowe

Post autor: luka52 » 26 gru 2007, o 14:10

Temat wystarczyło napisać raz a pożądnie! Co do równań, to: Pierwsze zapisujemy w postaci \(y'' + y = \frac{e^{-x}}{1-x}, \quad x 1\) Rozwiązaniem równania jednorodnego jest: \(y_1 = A \cos x + B \sin x\) Następnie zastosujemy metodę uzmienniania stałych; mamy \(y_2 = A(x) \cos x + B(x) \sin x\) pochodne A(x) i B(x) muszą spełniać następujące związki: \(A'(x) \cos x + B'(x) \sin x = 0\\ A'(x) (-\sin x) + B'(x) \cos x = \frac{e^{-x}}{1-x}\) Mnożąc pierwsze równanie przez cos x, a drugie przez -sin x i dodając stronami mamy: \(A'(x) = \frac{e^{-x} \sin x}{x-1}\) Tutaj zaczyna się główna trudność tego zadania Jest to całka nieelementarna i nawet można nieco ją "uprościć" lecz ja bym pozostawił to tak jak jest czyli: \(A(x) = t \frac{e^{-x} \sin x}{x-1} \) Z kolei B(x) to: \(B(x) = t \frac{e^{-x} \cos x}{1-x} \) A ostateczne rozwiązanie to: \(y(x) = A \cos x + B \sin x + \cos x t \frac{e^{-x} \sin x}{x-1} + \sin x t \frac{e^{-x} \cos x}{1-x} \) (bez uwzględnienia warunków brzegowych)

Wasilewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3921
Rejestracja: 10 gru 2007, o 20:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

Równania różniczkowe

Post autor: Wasilewski » 27 gru 2007, o 00:18

Czy w tym zrobionym przez Arek1357 można zrobić tak, że wprowadzam czynnik całkujący: \(U = e^x \\ y'e^x + ye^x = \frac{1}{1-x}\) Całkujemy: \(\int (ye^x)'dx = t \frac{1}{1-x}dx \\ ye^x = -ln(1-x) + C \\ y = -e^{-x}ln(1-x) + Ce^{-x} \\\) Czyli, jak rozumiem, Arek1357 od razu napisał ogólne rozwiązanie i potem je obliczał, a ono jest wyznaczane w ten właśnie sposób. Dobrze mówię?

Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3706
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko

Równania różniczkowe

Post autor: arek1357 » 27 gru 2007, o 00:45

Bardzo dobrze mówisz tak właśnie jest Poszdłem na skróty

ODPOWIEDZ