Matematyka.pl

Dana jest płaszczyzna :\(\displaystyle{ 2x-4y+3z+7=0}\), oraz prosta \(\displaystyle{ x=5-t , y=-2+3t , z=4+2t}\), znalezc kąt nachylenia prostej do plaszczyzny oraz punkt przecięcia .

Wyznaczmy najpierw współrzędne punktu przecięcia prostej z płaszczyzną. Mamy
\(\displaystyle{ 2(5-t)-4(-2+3t)+3(4+2t)+7=0}\), zatem \(\displaystyle{ -8t+37=0}\), tzn. \(\displaystyle{ t=\frac{37}{8}}\). W konsekwencji punkt przecięcia ma współrzędne \(\displaystyle{ (\frac{3}{8},\frac{95}{8},\frac{53}{4})}\).
Weźmy teraz dowolny punkt leżący na prostej, różny od punktu przecięcia z płaszczyzną, np. \(\displaystyle{ (5,-2,4)}\). Obliczmy odległość \(\displaystyle{ d}\) tego punktu od płaszczyzny.
Mamy \(\displaystyle{ d=\frac{|2\cdot 5+(-4)(-2)+3\cdot 4+7|}{\sqrt{2^2+(-4)^2+3^2}}=\frac{37}{5}}\).
Wystarczy teraz znaleźć odległość punktów \(\displaystyle{ (5,-2,4)}\) i \(\displaystyle{ (\frac{3}{8},\frac{95}{8},\frac{53}{4})}\). Obliczenia zostawiam, bo są jednak dość drobiazgowe. Stosunek liczby \(\displaystyle{ d}\) do tej znalezionej odległości jest róny sinusowi szukanego kąta.