Matematyka.pl

Naszukałem się, ale niestety nie znalazłem ratunku.
Dostałem zadanie
Wyznaczyć ilość rozwiązań
\(\displaystyle{ x_{1}+x_{2}+x_{3}=13}\)
dla x naturalnego dodatniego ale bez {5,6,7,8}

Wiem jak to zrobić dla zadania bez założenia, bo robiliśmy podobne na lekcji
stawiam 13 kresek poziomych i wrzucam między nie 2 pionowe dzieląc na 3 grupy odpowiadające liczbom, tych przerw mam 13-1=12. wybrać 2 z 12 miejsc, na które damy kreski pionowe to \(\displaystyle{ {12 \choose 2}}\). Ale jak pominąć liczby 5,6,7,8 to nie mam pojęcia. Tą techniką trzebaby wykombinować jak zrobić, by po wstawieniu tych 2 kresek odległość między nimi, bądź między jedną a końcem nie była równa 5,6,7 lub 8, ale bladego pojęcia nie mam jak to zrobić

bez większego kombinowania można zrobić to tak:

najpierw szukasz wszystkich rozwiązań.

teraz patrzysz ile jest rozwiązań zawierających 'zakazane' liczby.

np. dla 8
podstawiasz np. x1=8 (oczywiście trzeba podstawić 8 pod każdy z tych trzech x bo są one rozróżnialne. wybrałem x_1 dla przykładu) i otrzymujesz do rozwiązania równanie \(\displaystyle{ x_2+x_3=5}\). (rozwiązujesz je przedstawioną przez siebie metodą) następnie patrzysz czy jest jakieś rozwiązanie zawierające 'zakazane' liczby itd. w tym przypadku nie ma, więc rozwiązań zawierających 8 jest 3*(ilość rozwiązań równania \(\displaystyle{ x_2+x_3=5}\)). postępujesz tak dla każdej z tych liczb.

[ Dodano: 23 Grudnia 2007, 18:56 ]
ALE JEST DUŻO LEPSZE ROZWIĄZANIE:

zauważ, że nie może być tak że wszystkie te trzy liczby będą mniejsze od 5.
Możemy też zauważyć, że tylko jedna z tych liczb może być większa od 8.

czyli zadanie sprowadza się do znalezienia liczby rozwiązań w liczbach naturalnych dodatnich równania \(\displaystyle{ x_1+x_2+x_3=5}\) a potem do dodania w każdym z tych rozwiązań 8 kolejno do każdego x.

np. z równania \(\displaystyle{ x_1+x_2+x_3=5}\) otrzymaliśmy jedno z rozwiązań np takie:
x1=1 x2=2 x3=2 to rozwiązanie generuje nam trzy rozwiązania równania \(\displaystyle{ x_1+x_2+x_3=13}\) :
1* x1=1+8 x2=2 x3=2
2* x1=1 x2=2+8 x3=2
3*x1=1 x2=2 x3=2+8

a więc liczba rozwiązań równania\(\displaystyle{ x_1+x_2+x_3=13}\) to 3*(liczba rozwiązań równania\(\displaystyle{ x_1+x_2+x_3=5}\))
czyli \(\displaystyle{ 3 \cdot {4 \choose 2}=18}\)

Kurcze, rzeczywiście, nie wpadłem na to, ale tak wnioskuję, że chyba jednak nie o to chodziło mojemu nauczycielowi, bo następne zadanie jest podobne, stąd wnioskuję tą samą metodę rozwiązywania, a jest na większych/innych liczbach co prowadzi do "znacznego wyyyyyydłużenia" Twojej metody.

Później mam takie:
wyznaczyć również x1 + x2 + ....... + x100 = 500
tym razem 0