Matematyka.pl

W czworokącie ABCD wpisanym w okrąg środkami przekątnych AC iBD są odpowiednio punkty L i N. Udowodnic, że jeżeli BD jest dwusieczną kąta ANC , to AC jest dwusieczna kąta BLD.

Niech C' będzie obrazem punktu C w symetrii względem symetralnej odcinka BD. Oczywiście w tej samej symetrii okrąg o opisany na ABCD przechodzi sam na siebie (bo oś symetrii przechodzi przez środek okręgu o), więc punkt C przejdzie na punkt leżący na okręgu, czyli C' leży na okręgu o. Oczywiście końce odcinka BD zamienią się miejscami, czyli B'=D i D'=B
Poza tym
\(\displaystyle{ \sphericalangle C'NB= \sphericalangle CND= \sphericalangle AND}\),
czyli punkty A, N, C' leżą na jednej prostej.
Niech D' będzie obrazem punktu D w symetrii względem symetralnej odcinka AC'. D' leży na okręgu o, natomiast
\(\displaystyle{ AD'=A'D'=C'D'}\),
a zatem DD' jest równoległe do AC' i z tw. Talesa mamy (Q - punkt wspólny AC' i BD'):
\(\displaystyle{ \frac{BQ}{BD'}=\frac{BN}{BD}=\frac{1}{2}}\),
czyli Q jest środkiem BD'.
Niech A' będzie obrazem punktu A w symetrii względem symetralnej odcinka BD' (punkt A' leży na okręgu o). Mamy:
\(\displaystyle{ \sphericalangle D'QC'= \sphericalangle AQB= \sphericalangle A'QD'}\)
Ze wszystkich zastosowanych symetrii wynika, że:
\(\displaystyle{ BC=DC'=D'A=BA' \\
CD=C'B \\
DA=D'C' \\
AB=A'D'}\)
Zatem długości odpowiednich boków czworokąta ABCD i D'A'BC' są równe, a poza tym czworokąty te są wpisane w ten sam okrąg o, zatem są przystające. Dla czworokąta D'A'B'C' środek przekątnej D'B (odpowiadającej punktowi L czworokąta ABCD) to Q, a ponieważ
\(\displaystyle{ \sphericalangle D'QC'= \sphericalangle A'QD'}\) ,
to w czworokącie ABCD zachodzi analogiczna równość kątów:
\(\displaystyle{ \sphericalangle ALD= \sphericalangle BLA}\) ,
co kończy dowód.

dzieki bardzo