Matematyka.pl

W trójkącie równoramiennym ABC podstawa AB ma długość 80, a ramię ma długość 41. D jest punktem przecięcia wysokości CK z dwusieczną kąta ABC. Obliczyć odległość punktu D od ramienia trójkąta ABC.

Niech E będzie rzutem prostopadłym punktu D na bok BC, tzn. takim punktem, że odcinek DE jest prostopadły do boku BC. Zauważmy, że trójkąty BKD i BED są przystające, gdyż są prostokątne, mają wspólny bok BD, a kąty \(\displaystyle{ \angle DBK, \angle BED}\) są równe (bo prosta BD jest dwusieczną kąta B). Zatem w szczególności mamy \(\displaystyle{ |DK|=|DE|}\).
Trójkąt ABC możemy podzielić na 3 trójkąty AKC, BKD oraz BDC.
Z twierdzenia Pitagorasa dostajemy \(\displaystyle{ |CK|=\sqrt{41^2-40^2}=9}\).
Stąd i ze wzoru na pole trójkąta dostajemy \(\displaystyle{ \frac{80\cdot 9}{2}=P_{ABC}=P_{AKC}+P_{BKD}+P_{BDC}=\frac{40\cdot 9}{2}+\frac{40\cdot |DK|}{2}+\frac{41\cdot |DE|}{2}}\), więc wobec wykazanej równości \(\displaystyle{ |DK|=|DE|}\) dostajemy \(\displaystyle{ 360=180+20|DE|+20.5|DE|}\), czyli \(\displaystyle{ 40.5|DE|=180}\), więc \(\displaystyle{ |DE|=\frac{40}{9}}\).

Dzięki za pomoc