Matematyka.pl

Mamy trzy liczby zespolone \(\displaystyle{ z_1}\), \(\displaystyle{ z_2}\), \(\displaystyle{ z_3}\), które w układzie tworzą trójkąt równoboczny.
Dowieść że:

\(\displaystyle{ (z_1)^2+(z_2)^2+(z_3)^2=z_1\cdot z_2+z_2\cdot z_3+z_1\cdot z_3}\)

Kompletnie nie mam pomysłu, także proszę o pomoc....

Hmmm ... No niby nie mam pojęcia o zespolonych, ale z tego co czytałem to może tak to powinno wyglądać:

Ten trójkąt można sobie wsadzic w dowolne miejse w układzie współrzednych. Niech A=(-a,0), B=(a,0), C=(0,b). Wiadomo że \(\displaystyle{ z_1=-a}\), \(\displaystyle{ z_2=a}\), \(\displaystyle{ z_3=bi}\).

Przekształćmy równanie:

\(\displaystyle{ (z_1)^2+(z_2)^2+(z_3)^2=z_1\cdot z_2+z_1\cdot z_3+z_2\cdot z_3/ 2}\)

\(\displaystyle{ (z_1)^2-2z_1\cdot z_2+(z_2)^2+(z_1)^2-2z_1\cdot z_3+(z_3)^2+(z_2)^2-2z_2 z_3+(z_3)^2=0}\)

\(\displaystyle{ (z_1-z_2)^2+(z_1-z_3)^2+(z_2-z_3)^2=0}\)


Podstawiasz i masz:

\(\displaystyle{ 4a^2+a^2-2abi+b^2i^2+a^2+2abi+b^2i^2=0}\)

\(\displaystyle{ 3a^2=b^2}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{3}a=b}\)

A to jest prawdą, bo b jest wysokością trójkąta równobocznego o podstawie 2a.


Tylko kij wie czy wogóle dobrze myślałem ... sorki za wprowadzenie w ewentualny błąd

Możliwości jest wiele. Oto inna propozycja.

\(\displaystyle{ \;z_{1}=a\;}\) ; \(\displaystyle{ \;z_{2}=a\cdot{e^{i\frac{2\pi}{3}}}\;}\) ; \(\displaystyle{ \;z_{3}=a\cdot{e^{-i\frac{2\pi}{3}}}\;}\)

dzięki wielkie