Matematyka.pl

Profesor dał nam takie zadanie na analizie i powiedział, że jak się ma pomysł, to nie ma problemu, żeby to policzyć. Mi tego pomysłu brakowało... Może ktoś z Was (zwłaszcza luka ) ma jakiś pomysł:
\(\displaystyle{ \int_0^\infty e^{-x^{2}}}\)

Zauważmy, że \(\displaystyle{ \int\limits_0^{+ \infty} e^{-x^2} \, \mbox{d}x = \frac{1}{2} \int\limits_{- \infty}^{+ \infty} e^{-x^2} \, \mbox{d}x}\)
I teraz pomocniczo liczymy:
\(\displaystyle{ \left( \int\limits_{- \infty}^{+ \infty} e^{-x^2} \, \mbox{d}x \right)^2 = \int\limits_{- \infty}^{+ \infty} e^{-x^2} \, \mbox{d}x \cdot \int\limits_{- \infty}^{+ \infty} e^{-y^2} \, \mbox{d}y = \int\limits_{- \infty}^{+ \infty} \int\limits_{- \infty}^{+ \infty} e^{- ( x^2 + y^2)} \, \mbox{d}x \, \mbox{d}y = \\ = \int\limits_0^{2 \pi} \int\limits_{0}^{+ \infty} \rho e^{- \rho^2} \, \mbox{d}\rho \, \mbox{d}\theta = \pi}\)
Czyli szukana całka to po prostu \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{\pi}}{2}}\)
(tamta zmiana zmiennych to po prostu przejście na współrzędne biegunowe)

Jesteś genialny!!