Matematyka.pl

Pan kowalski chce kupić działkę o powierzchni \(\displaystyle{ 900 m^{2}}\). Jakie wymiary powinna mieć ta działka aby na jej ogrodzenie zużyć jak najmniej materiału.

prosze o wskazówki jak rozwiązać to zadanie

\(\displaystyle{ xy=900}\) czyli \(\displaystyle{ y=\frac{900}{x}}\)
\(\displaystyle{ x+\frac{900}{x}=min}\)
x=30 y=30

a, b - wymiary działki,

\(\displaystyle{ a b=900 b= \frac{900}{a} \\ \\ o=2a+2b=2a+ \frac{900}{a}= \frac{2a^2+1800}{a} \\ o=o(a)= \frac{2a^2+1800}{a} \\ \\ o'(a)= \frac{4a^2-2a^2-1800}{a^2} \\ o'(a)=0 2a^2-1800=0 \\ a=-30\vee a=30}\)
Funkcja osiąga minimum dla a=30 (wynika to z układu znaków pochodnej). Stąd b=30.

Warto zauważyć, że zawsze uzyskamy najmniejszy obwód przy dany polu, gdy działka będzie miała kształt kwadratu.
\(\displaystyle{ \sqrt[2]{900}=30}\)